3.4_解析函数与调和函数
§3.4 解析函数与调和函数在上一节已经证明：在区域 $D$ 内解析的函数有任意阶导数。 由 C.-R. 方程 \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y},\\[6pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}, \end{cases}可得 \frac{\partial^2u}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2u}{\partial y^2}, \qquad \frac{\partial^2v}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2v}{\partial y^2}.因此 \boxed{\Delta u=0,\qquad \Delta v=0},其中 $\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}$ 为 Laplace 算子。 定义...
ida pro使用 Apply patches to 保存修改时提示patching canceled 处理方法
ida pro使用 Apply patches to 保存修改时提示patching canceled 处理方法记一次痛苦的debug过程 用Apply patches to保存修改时提示patching canceled 123Python 3.11.9 (tags/v3.11.9:de54cf5, Apr 2 2024, 10:12:12) [MSC v.1938 64 bit (AMD64)]IDAPython 64-bit v9.3.0 (c) The IDAPython Team idapython@googlegroups.comPatching cancelled... 搜到了一篇blog 尝试之后发现对我的情况无效. 后来和 GPT 对话，找出原因。处理方法如下： 不要根据之前的 blog 添加 sip.pyd 查找 ida\plugins\ 目录下是否同时存在 keypatch.py 和 patching.py 两个插件 如果都有，删除 patching.py 重启 ida 即可
ccb2026_wp
CCB2026 wpby cha 感谢带飞的两位师傅 主要完成的工作就是取证1的前半部分，虽然题出的不咋地但是还是能学到点知识的。就附这个题的wp了 GhostPatch观察流量可以发现主要存在 8888 和 9999 两个服务端口。 过滤： 1tcp.port == 8888 追踪 TCP 流，可以看到 FGT/0.9 明文协议，其中泄露了新版 FGT/1.0 的协议说明。关键信息如下： 123456789101112131415161718FGT/1.0 (port 9999)shared = B^a = A^b mod pK = SHA-256(shared)[:16]RC4 with K, one independent stream per directionframe: [u16be length][rc4(frame)]01 GET02 META03 DATA04 END06 LIST07 SHELL09 CIN0A COUT 因此后续重点分析 9999。 过滤： 1tcp.port == 9999 追踪 TCP 流，握手部分为明文： 123FGT/1.0 RE...
3.3_柯西积分公式
§3.3 柯西积分公式[TOC] 柯西积分公式定理（柯西积分公式） 设区域 $D$ 的边界是复围线 $C$，$f(z)$ 在 $D$ 内解析，在 $\overline D=D+C$ 上连续，则有 f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi,\qquad z\in D.证明 写成 \oint_C\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi =\oint_C\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}\,d\xi +\oint_C\frac{f(z)}{\xi-z}\,d\xi.令 g(\xi)= \begin{cases} \dfrac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}, & \xi\ne z,\\[6pt] f'(z), & \xi=z, \end{cases}则 $g(\xi)$ 在 $D$ 内解析，因此由柯西积分定理，$\oint_C g(\xi)\,d\xi=0$。 又 \oint_C\frac{f(z)}{\xi-z}\,d\xi =f(z)\oint_C\frac{d\xi}{...
3.2_柯西积分定理
3.2 柯西积分定理[TOC] 柯西积分定理学习定理之前先来膜拜一下大神 柯西生平 Augustin-Louis Cauchy（奥古斯丁-路易·柯西，1789—1857）是法国数学家、物理学家与工程师，现代分析与复变函数论的重要奠基人之一。他生于巴黎，先后就读于巴黎综合理工学院与桥梁道路学院，早年曾从事工程工作，后转向数学研究。柯西系统推动了分析学的严格化，给出了极限、连续、收敛等概念的精确定义，并建立了大量以他名字命名的重要结果，例如柯西积分定理、柯西积分公式、柯西收敛准则等。他在级数、微分方程、群论与数学物理中也有深远影响，一生发表论文极多，是 19 世纪最重要的数学家之一。 柯西积分定理 设 $f(z)$ 在平面上的单连通区域 $D$ 内解析，$C$ 为 $D$ 内任一周线，则 \int_C f(z)\,dz=0. （好吧，插一段数学史 事实上，柯西提出此定理时所定义的解析性要求 $f’(z)$ 也是连续的，这种情形下rekjo也能证明出柯西积分定理…通过多元实函数积分的Green公式和Cauchy-Riemann方程可以直接推导出来。 后来法国数学家古尔萨发现定理条...
3.1_复积分的引入
3.1 复积分的引入[TOC] 今后提到的曲线，一般是光滑曲线或逐段光滑曲线，因而是可求长的。 逐段光滑的简单闭曲线称作周线。 定义 设有向曲线 $C$：$z=z(t)$（$\alpha\le t\le\beta$），以$a=z(\alpha)$为起点，$b=z(\beta)$为终点，$f(z)$ 沿 $C$ 有定义。顺着 $C$ 从 $a$ 到 $b$ 的方向取分点 \begin{align} a=z_0,z_1,\ldots,z_{n-1},z_n=b \end{align}把曲线 $C$ 分成若干弧段。从 $z_{k-1}$ 到 $z_k$（$k=1,2,\ldots,n$）的每一小弧段上取一点 $\zeta_k$，记 S_n=\sum_{k=1}^n f(\zeta_k)\,\Delta z_k,\qquad \Delta z_k=z_k-z_{k-1}.当分点无限增多、这些弧段长度的最大值趋于 $0$ 时，若和式 $S_n$ 的极限存在且等于 $J$，则称 $f(z)$ 沿 $C$（从 $a$ 到 $b$）可积，称 $J$ 为 $f(z)$ 沿 $C$（从 $...
2.3_初等多值函数
2.3 初等多值函数[TOC] 单叶性 定义：设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内有定义，且对任意 $z_1\neq z_2$，$z_1,z_2\in D$，都有 $f(z_1)\neq f(z_2)$，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内是单叶的，并称 $D$ 为 $f(z)$ 的单叶性区域。 辐角函数与辐角改变量$w=\operatorname{Arg}z$ 是辐角函数，其定义域为 $\mathbb C\setminus\{0\}$。 沿曲线 $L$ 的辐角改变量记为 $\Delta_L\operatorname{Arg}z$，约定逆时针为正。 尽管曲线的起点、终点相同，但若曲线不同、绕原点的圈数不同，则 $\Delta_L\operatorname{Arg}z$ 也不同，彼此可相差 $2k\pi$（其中 $k\in\mathbb Z$）。 若曲线 $L_0$ 不通过原点，并可在 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 内连续变形为曲线 $L_1$，则在连续变化的过程中，辐角改变量不能发生 $2k\pi$ 的跳跃，只能保持原值。因此 \Delta_{L_0}\o...
2.2_初等解析函数
2.2 初等解析函数[TOC] 1. 指数函数复指数函数定义 \boxed{e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)}性质： $|e^z|=e^x>0$，$\arg e^z=y$ $e^z\neq0$ $e^z$ 在整个复平面上解析，且 $(e^z)’=e^z$ $e^z$ 的基本周期为 $2\pi i$ $\displaystyle\lim_{z\to\infty}e^z$ 无意义，即极限不存在 简证 沿 $y=0$ 且 $x\to+\infty$ 时 $e^z\to\infty$；沿 $y=0$ 且 $x\to-\infty$ 时 $e^z\to0$。 注 若 $f(z+\omega)=f(z)$，则称 $\omega$ 为 $f(z)$ 的周期。若 $f(z)$ 的所有周期都是 $\omega$ 的整数倍，则称 $\omega$ 为 $f(z)$ 的基本周期。 因为 $(e^z)’=e^z\neq0$，但 $e^z=e^{z+2k\pi i}$，所以复变函数不满足数学分析中的 Rolle 定理，故微分中值定理也不能直接推广到复平面上...
2.1_解析函数
2.1 解析函数[TOC] 导数 复变函数在点 $z_0$ 处的导数定义为 f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} =\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}要求 $z_0+\Delta z$ 沿连接 $z_0$ 的任意路径趋于点 $z_0$。 微分若 $\Delta w=f’(z_0)\Delta z+\varepsilon$，其中 $|\varepsilon|=|\eta|\,|\Delta z|$ 且 $\lim_{\Delta z\to0}\eta=0$，则 $f’(z_0)=\dfrac{dw}{dz}$。 若函数在区域 $D$ 内处处可微，则称 $f(z)$ 在区域 $D$ 内可微。 例 2.1 证明 $f(z)=\overline z$ 在 $z$ 平面上处处不可微。 证明 虽然该函数在 $z$ 平面上处处连续，但 \frac{\Delta f}{\Delta z} =\frac{\overline{z+\Delta z}...
第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数[TOC] 1.1 复数复平面设 $z=x+iy\longrightarrow(x,y)$，$(x,y)$ 称为 $z$ 的实数对形式。 $x$ 轴、$y$ 轴分别对应实轴、虚轴。 复平面 $\mathbb C$：“数 = 点”。 模$\overrightarrow{Oz}=x+iy$，$|\overrightarrow{Oz}|=r=\sqrt{x^2+y^2}$。 因此 \begin{cases} -|z|\leq \operatorname{Re}z\leq |z|,\\ -|z|\leq \operatorname{Im}z\leq |z|. \end{cases}且 \begin{cases} |z_1+z_2+\cdots+z_n|\leq |z_1|+|z_2|+\cdots+|z_n|,\\ \bigl||z_1|-|z_2|\bigr|\leq |z_1-z_2|. \end{cases}辐角 \tan\theta=\frac{y}{x},\qquad \theta=\operatorname{Arg}z=\arg z+2k\pi,\q...