2.1 解析函数

[TOC]

导数

复变函数在点 处的导数定义为

$$f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} =\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$$

要求 沿连接 的任意路径趋于点 。

微分

若 ，其中 且 ，则 。

若函数在区域 内处处可微，则称 在区域 内可微。

例 2.1　证明 在 平面上处处不可微。

证明　虽然该函数在 平面上处处连续，但

$$\frac{\Delta f}{\Delta z} =\frac{\overline{z+\Delta z}-\overline z}{\Delta z} =\frac{\Delta\overline z}{\Delta z},$$

而 不存在。

解析函数、解析点与奇点

定义：若函数 在区域 内可微，则称 为 内的解析函数，或称 在 内解析；也称全纯函数、正则函数。

• 某点解析 存在该点的某个邻域 ，函数在其中解析。
• 在闭域上解析 函数应在包含该闭域的某个区域内解析。

定义：若 在 点不解析，但在 的任一邻域内总有 的解析点，则称 为 的奇点。

注：

• 解析函数允许有奇点，但不包含处处不解析的函数（如 ）

• 若 ，则

• 、 的偏导数都存在不能推出 解析

Cauchy-Riemann Equation

若 ，则 C.-R. 方程为

$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y},\\[6pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x} \end{cases}$$

可微的必要条件

设 在区域 内有定义，且在 内一点 可微，则在这一点：

1. 、、、 存在；
2. 满足 ，。

可微/解析的充要条件

1. 、 可微；

2. 满足 C.-R. 方程。

可微/解析的充分条件

1. 、、、 连续；
2. 满足 C.-R. 方程。

在满足上述条件时，导数可写为

$$\boxed{f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}}$$

例 2.7　。

解　，，因此 ，，。

只有当 时，Cauchy-Riemann 方程成立，所以 仅在 可微。

因此， 在 平面上处处不解析。

例 2.8　。

解　此时 ，，且 ，，，。

由 得 ；另一个 Cauchy-Riemann 方程恒成立，且偏导数连续。

所以 仅在直线 上可微，但在 平面上处处不解析。

例 2.10　证明 在 平面上解析，且 。

证明　，故 ，，并且

$$u_x=e^x\cos y,\qquad u_y=-e^x\sin y v_x=e^x\sin y,\qquad v_y=e^x\cos y$$

在 平面上处处连续，且满足 Cauchy-Riemann 方程，因此 在 平面上处处解析。

$$f'(z)=u_x+iv_x=e^x\cos y+i e^x\sin y=e^{x+iy}=f(z)$$

例 2.11　设 在区域 内解析，且 ，求 。

解　由 ，有 ，。因为 在 内解析，所以

$$u_x=v_y=2uu_y,\qquad u_y=-v_x=-2uu_x$$

因此 ，从而 。故 ，，其中 为常数，于是

$$f(z)=C+iC^2$$

极坐标形式的 C.-R. 方程

设 ，。若 、 可微，且

$$\begin{cases} r\dfrac{\partial u}{\partial r}=\dfrac{\partial v}{\partial\theta},\\[6pt] r\dfrac{\partial v}{\partial r}=-\dfrac{\partial u}{\partial\theta}, \end{cases}$$

则 可微。称为指数形式的 C.-R. 方程。

证明　由链式法则，

$$\begin{aligned} u_r&=u_x\cos\theta+u_y\sin\theta,& u_\theta&=-r\sin\theta\,u_x+r\cos\theta\,u_y,\\ v_r&=v_x\cos\theta+v_y\sin\theta,& v_\theta&=-r\sin\theta\,v_x+r\cos\theta\,v_y \end{aligned}$$

由直角坐标形式的 C.-R. 方程可得 ，。

复函数的另一个视角

由 、，可得 ，。

又 、，所以 ，。

是关于 的二元函数。若 可微，则

$$df(z)=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy$$

代入 ，有

$$df(z)=\frac12\left(f_x-if_y\right)dz +\frac12\left(f_x+if_y\right)d\overline z$$

定义偏微分算子

$$\boxed{ \frac{\partial}{\partial z}=\frac12\left(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\right) \frac{\partial}{\partial\overline z}=\frac12\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)}$$

于是 。

可知 ，，，。

定理

设 、 在区域 内有一阶连续偏导数，则 在 内解析的充要条件为

$$\boxed{\frac{\partial f(z)}{\partial\overline z}=0}$$

证明

$$\frac{\partial f}{\partial\overline z} =\frac12\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)(u+iv) =\frac12(u_x-v_y)+\frac{i}{2}(u_y+v_x)$$

因此，Cauchy-Riemann 方程成立当且仅当 。

含义： 解析当且仅当 与 无关。

• 注：在求导时，可以将 视作独立变量计算。

例　判断下列函数是否解析：，，。

解

1. 对 ，有 ，所以 解析。
2. 对 ，有 ，所以 不解析。
3. 对 ，有 ，所以 不解析。