2.1 解析函数

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导数

复变函数在点 $z_0$ 处的导数定义为

$$f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} =\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$$

要求 $z_0+\Delta z$ 沿连接 $z_0$ 的任意路径趋于点 $z_0$。

微分

若 $\Delta w=f’(z_0)\Delta z+\varepsilon$，其中 $|\varepsilon|=|\eta|\,|\Delta z|$ 且 $\lim_{\Delta z\to0}\eta=0$，则 $f’(z_0)=\dfrac{dw}{dz}$。

若函数在区域 $D$ 内处处可微，则称 $f(z)$ 在区域 $D$ 内可微。

例 2.1　证明 $f(z)=\overline z$ 在 $z$ 平面上处处不可微。

证明　虽然该函数在 $z$ 平面上处处连续，但

$$\frac{\Delta f}{\Delta z} =\frac{\overline{z+\Delta z}-\overline z}{\Delta z} =\frac{\Delta\overline z}{\Delta z},$$

而 $\displaystyle\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta\overline z}{\Delta z}$ 不存在。

解析函数、解析点与奇点

定义：若函数 $w=f(z)$ 在区域 $D$ 内可微，则称 $f(z)$ 为 $D$ 内的解析函数，或称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析；也称全纯函数、正则函数。

• 某点解析 $\Rightarrow$ 存在该点的某个邻域 $N_\varepsilon(z_0)$，函数在其中解析。
• 在闭域上解析 $\Rightarrow$ 函数应在包含该闭域的某个区域内解析。

定义：若 $f(z)$ 在 $z_0$ 点不解析，但在 $z_0$ 的任一邻域内总有 $f(z)$ 的解析点，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的奇点。

注：

• 解析函数允许有奇点，但不包含处处不解析的函数（如 $f(z)=\overline z$ ）

• 若 $z(t)=x(t)+iy(t)$，则 $z’(t)=x’(t)+iy’(t)$

• $u(x,y)$、$v(x,y)$ 的偏导数都存在不能推出 $w=f(z)$ 解析

Cauchy-Riemann Equation

若 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，则 C.-R. 方程为

$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y},\\[6pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x} \end{cases}$$

可微的必要条件

设 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内有定义，且在 $D$ 内一点 $z=x+iy$ 可微，则在这一点：

1. $\dfrac{\partial u}{\partial x}$、$\dfrac{\partial u}{\partial y}$、$\dfrac{\partial v}{\partial x}$、$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ 存在；
2. 满足 $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}$，$\dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}$。

可微/解析的充要条件

1. $u(x,y)$、$v(x,y)$ 可微；

2. 满足 C.-R. 方程。

可微/解析的充分条件

1. $\dfrac{\partial u}{\partial x}$、$\dfrac{\partial u}{\partial y}$、$\dfrac{\partial v}{\partial x}$、$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ 连续；
2. 满足 C.-R. 方程。

在满足上述条件时，导数可写为

$$\boxed{f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}}$$

例 2.7　$f(z)=|z|^2$。

解　$u(x,y)=x^2+y^2$，$v(x,y)=0$，因此 $u_x=2x$，$u_y=2y$，$v_x=v_y=0$。

只有当 $z=0$ 时，Cauchy-Riemann 方程成立，所以 $f(z)$ 仅在 $z=0$ 可微。

因此，$f(z)$ 在 $z$ 平面上处处不解析。

例 2.8　$f(z)=x^2-iy$。

解　此时 $u(x,y)=x^2$，$v(x,y)=-y$，且 $u_x=2x$，$u_y=0$，$v_x=0$，$v_y=-1$。

由 $u_x=v_y$ 得 $x=-\dfrac12$；另一个 Cauchy-Riemann 方程恒成立，且偏导数连续。

所以 $f(z)$ 仅在直线 $x=-\dfrac12$ 上可微，但在 $z$ 平面上处处不解析。

例 2.10　证明 $f(z)=e^{x+iy}$ 在 $z$ 平面上解析，且 $f’(z)=f(z)$。

证明　$f(z)=e^x(\cos y+i\sin y)$，故 $u(x,y)=e^x\cos y$，$v(x,y)=e^x\sin y$，并且

$$u_x=e^x\cos y,\qquad u_y=-e^x\sin y v_x=e^x\sin y,\qquad v_y=e^x\cos y$$

在 $z$ 平面上处处连续，且满足 Cauchy-Riemann 方程，因此 $f(z)$ 在 $z$ 平面上处处解析。

$$f'(z)=u_x+iv_x=e^x\cos y+i e^x\sin y=e^{x+iy}=f(z)$$

例 2.11　设 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $v=u^2$，求 $f(z)$。

解　由 $v=u^2$，有 $v_x=2uu_x$，$v_y=2uu_y$。因为 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，所以

$$u_x=v_y=2uu_y,\qquad u_y=-v_x=-2uu_x$$

因此 $u_x(4u^2+1)=0$，从而 $u_x=u_y=0$。故 $u=C$，$v=C^2$，其中 $C$ 为常数，于是

$$f(z)=C+iC^2$$

极坐标形式的 C.-R. 方程

设 $z=re^{i\theta}$，$w=u(r,\theta)+iv(r,\theta)$。若 $u(r,\theta)$、$v(r,\theta)$ 可微，且

$$\begin{cases} r\dfrac{\partial u}{\partial r}=\dfrac{\partial v}{\partial\theta},\\[6pt] r\dfrac{\partial v}{\partial r}=-\dfrac{\partial u}{\partial\theta}, \end{cases}$$

则 $f(z)=f(r,\theta)$ 可微。称为指数形式的 C.-R. 方程。

证明　由链式法则，

$$\begin{aligned} u_r&=u_x\cos\theta+u_y\sin\theta,& u_\theta&=-r\sin\theta\,u_x+r\cos\theta\,u_y,\\ v_r&=v_x\cos\theta+v_y\sin\theta,& v_\theta&=-r\sin\theta\,v_x+r\cos\theta\,v_y \end{aligned}$$

由直角坐标形式的 C.-R. 方程可得 $ru_r=v_\theta$，$rv_r=-u_\theta$。

复函数的另一个视角

由 $z=x+iy$、$\overline z=x-iy$，可得 $x=\dfrac{z+\overline z}{2}$，$y=\dfrac{z-\overline z}{2i}$。

又 $dz=dx+i\,dy$、$d\overline z=dx-i\,dy$，所以 $dx=\dfrac{dz+d\overline z}{2}$，$dy=\dfrac{dz-d\overline z}{2i}$。

$f(z)=f(x+iy)$ 是关于 $x,y$ 的二元函数。若 $f(x+iy)$ 可微，则

$$df(z)=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy$$

代入 $dx,dy$，有

$$df(z)=\frac12\left(f_x-if_y\right)dz +\frac12\left(f_x+if_y\right)d\overline z$$

定义偏微分算子

$$\boxed{ \frac{\partial}{\partial z}=\frac12\left(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\right) \frac{\partial}{\partial\overline z}=\frac12\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)}$$

于是 $\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial z}\,dz+\frac{\partial f}{\partial\overline z}\,d\overline z$。

可知 $\dfrac{\partial z}{\partial z}=1$，$\dfrac{\partial\overline z}{\partial\overline z}=1$，$\dfrac{\partial z}{\partial\overline z}=0$，$\dfrac{\partial\overline z}{\partial z}=0$。

定理

设 $u(x,y)$、$v(x,y)$ 在区域 $D$ 内有一阶连续偏导数，则 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $D$ 内解析的充要条件为

$$\boxed{\frac{\partial f(z)}{\partial\overline z}=0}$$

证明

$$\frac{\partial f}{\partial\overline z} =\frac12\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)(u+iv) =\frac12(u_x-v_y)+\frac{i}{2}(u_y+v_x)$$

因此，Cauchy-Riemann 方程成立当且仅当 $\dfrac{\partial f(z)}{\partial\overline z}=0$。

含义：$f(z)$ 解析当且仅当 $f(z)$ 与 $\overline z$ 无关。

• 注：在求导时，可以将 $z,\overline z$ 视作独立变量计算。

例　判断下列函数是否解析：$f(z)=z^2$，$f(z)=\overline z$，$f(z)=|z|^2$。

解

1. 对 $f(z)=z^2$，有 $\dfrac{\partial f}{\partial\overline z}=0$，所以 $f(z)$ 解析。
2. 对 $f(z)=\overline z$，有 $\dfrac{\partial f}{\partial\overline z}=1$，所以 $f(z)$ 不解析。
3. 对 $f(z)=|z|^2=z\overline z$，有 $\dfrac{\partial f}{\partial\overline z}=z$，所以 $f(z)$ 不解析。