2.3 初等多值函数

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单叶性

定义：设 在区域 内有定义，且对任意 ，，都有 ，则称 在 内是单叶的，并称 为 的单叶性区域。

辐角函数与辐角改变量

是辐角函数，其定义域为 。

沿曲线 的辐角改变量记为 ，约定逆时针为正。

尽管曲线的起点、终点相同，但若曲线不同、绕原点的圈数不同，则 也不同，彼此可相差 （其中 ）。

若曲线 不通过原点，并可在 内连续变形为曲线 ，则在连续变化的过程中，辐角改变量不能发生 的跳跃，只能保持原值。因此

$$\Delta_{L_0}\operatorname{Arg}z=\Delta_{L_1}\operatorname{Arg}z$$

若 在 内可连续变形，则称它们同伦，记为 。

• 特别地，若 为一个点，则 。

由于 上任一不绕原点的简单闭曲线都能连续收缩到一点 ，即 。

因此，，有

$$\Delta_L\operatorname{Arg}z= \begin{cases} 0, & 0\text{ 在 }L\text{ 外部},\\[4pt] 2\pi, & 0\text{ 在 }L\text{ 内部} \end{cases}$$

拓扑前置知识

• 道路（路径）：区域 中的道路是连续映射 。若 ，则称为闭路。
• 同伦：两条道路 若存在连续映射 ，满足 、，则称二者在 内同伦。讨论固定端点的道路时，还要求 与 在变形中保持不动。
• 收缩（零伦）：闭路 若与某个常值道路 $\gamma_(t)\equiv z_\gammaD$ 内可收缩到一点，也称 是零伦的。即存在连续映射 ，使 、，且每个 下都有 。
• 单连通：道路连通区域 中的每一条闭路都能在 内收缩到一点时，称 为单连通区域。
• 在 中，绕原点非零圈的闭路不能收缩到一点；辐角改变量为 的闭路才可能与常值道路同伦。

辐角的单值连续分支

设 是 内的一条简单曲线， 是 的起点， 是终点。在 处取定 的一个值，作为 在 处的初值，则终点处的值为

$$\operatorname{Arg}z=\arg z_0+\Delta_L\operatorname{Arg}z$$

记 ，即从 平面中去掉负实轴。对 内任一简单闭曲线 ，有 ，从而有 。

因此，在 内沿任意简单曲线的辐角改变量只与起点、终点有关。由此可在 内定义无穷多个单值连续函数

$$\boxed{\arg_k z=\arg_0 z+2k\pi,\quad z\in G,\quad k\in\mathbb Z}$$

例如可取 ，并令 ，。于是 是一单值连续函数簇。

• 简单证明一下 。

设 ，并将曲线参数化为 。令

$$H(s,t)=r(t)^{1-s}e^{i(1-s)\theta(t)},\qquad 0\leq s\leq1$$

则 ，。又因为 ，所以变形过程中不通过原点。因此 ，即 在该区域内可以收缩成一个点。

根式函数

是映射 的反函数，其中 、，并可写为

$$w=\sqrt[n]{|z|}\,e^{i\frac{\operatorname{Arg}z}{n}}$$

对于每一个 ，在 平面上有 个像，它们是以原点为中心的正 边形的顶点。

因此 是 值函数。

设 ，，则 ，。

将 平面分成 个角形区域

$$T_k:\quad \frac{2k\pi}{n}-\frac\pi n<\varphi<\frac{2k\pi}{n}+\frac\pi n, \qquad k=0,1,\ldots,n-1,$$

各区域可映到割去负实轴的 平面区域 。

在 内可定义

$$\boxed{w_k(z)=\sqrt[n]{r(z)}\,e^{i\frac{\theta(z)+2k\pi}{n}}, \qquad z\in G,\quad k=0,1,\ldots,n-1}$$

这 个函数称为 的 个单值连续分支。

设 是区域 内的多值函数， 是 内的单值连续解析函数。若对 内任一点 都有 ，则称 为 在 内的一个单值连续解析分支。

支点与支割线

当 绕某点一整圈回到原来的位置，而函数值没有回到原来的值时，称该点为多值函数的支点。

例如， 的支点为 与 。

用来割开 平面、分出根式函数单值解析分支的曲线称为支割线。

支割线不唯一。通常取负实轴为支割线，并把在正实轴上取正实值的分支称为主值支。

例 2.18　设 定义在从原点沿负实轴割开的 平面上，且 ，求 。

解　，。

由 得 。

又 ，，所以在同一分支上

$$w(-i)=e^{i\frac{-\frac\pi2+4\pi}{3}}=e^{i\frac{7\pi}{6}}$$

复对数函数

由 得到 。若 ，则

$$\operatorname{Ln}(re^{i\theta}) =\ln r+i(\theta+2k\pi) =\ln|z|+i\operatorname{Arg}z =\ln|z|+i(\arg z+2k\pi),\qquad k\in\mathbb Z$$

当 时，记主值为

$$\boxed{\ln z=\ln|z|+i\arg z}$$

例 2.19　设 ，写出 、 及其主值。

解　，其主值为 ；而 ，其主值为 。因此

$$\operatorname{Ln}(-1)=(2k+1)\pi i,\quad \operatorname{ln}(-1)=\pi i,\\ \operatorname{Ln}(-e)=1+(2k+1)\pi i,\quad \ln(-e)=1+\pi i$$

的变换性质

设 ，，则 ，。

• 把 固定，得到射线 ；
• 把 固定，在 内得到圆 。

因此，映射 把带形区域 映到割去负实轴的区域 。更一般地，将带形区域

$$B_k:\quad (2k-1)\pi<v\leq(2k+1)\pi$$

映到同一割平面 $G$。

• $w=\operatorname{Ln}z$ 的支点为 $z=0$ 与 $z=\infty$。

幂函数与指数函数

幂函数

$$\boxed{w=z^\alpha=e^{\alpha\operatorname{Ln}z}}, \qquad z\neq0,\infty,\quad \alpha\in\mathbb C$$

设 的任一值为 ，并记 ，则 。

1. 若 ，则 ，为单值函数。
2. 若 且 ，则 ，，共有 个值。
3. 若 ，则 是多值函数，并有无穷多个值。

指数函数

$$\boxed{w=\alpha^z=e^{z\operatorname{Ln}\alpha}}, \qquad \alpha\neq0,\infty,\quad \alpha\in\mathbb C$$

例 2.22　求 。

解　

$$i^i=e^{i\operatorname{Ln}i} =e^{i(\frac\pi2 i+2k\pi i)} =e^{-\frac\pi2-2k\pi},\qquad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$$

其主值为 。

例 2.23　求 。

解　

$$\begin{aligned} 2^{1+i} &=e^{(1+i)\operatorname{Ln}2} =e^{(1+i)(\ln2+2k\pi i)}\\ &=e^{(\ln2-2k\pi)+(\ln2+2k\pi)i} =e^{\ln2-2k\pi}\bigl(\cos\ln2+i\sin\ln2\bigr), \end{aligned}$$

其中 。其主值为 。

代数函数的支点

以 为例，设

$$P(z)=A(z-a_1)^{\alpha_1}(z-a_2)^{\alpha_2}\cdots(z-a_m)^{\alpha_m},$$

且 是 的 次多项式，其中 。

1. 可能的支点为 ；
2. 若 ，则 是支点；
3. 若 ，则 是支点；
4. 若某些支点对应的指数之和可被 整除，则这些支点可以连接成一条割线。

连接规则：

• 每 个点连成一条割线；
• 每一组支点绕一圈之后，函数回到原值，即这一组支点的指数之和为 的倍数。（）

例　判断 与 的支点。

解　两者的支点均为 。

第一个函数可以构造如下割线：从 到 割开，从 到 割开，从 沿正实轴割开。

第二个函数可以构造如下割线：从 到 到 割开，从 到 再沿正实轴割开。

计算终值问题

若沿曲线 从 延拓到 ，则

$$f(z_2)=|f(z_2)|e^{i\arg f(z_2)} =|f(z_2)|e^{i\Delta_C\arg f(z)}e^{i\arg f(z_1)}$$

例 2.25　设 。证明 将 平面适当割开后，能分出三个单值解析分支；并求在 取负值的那个分支在 的值。

解　 的支点为 。

对每一个 ，方程 有三个根。

因此将 平面从 到 割开，再沿负虚轴割开，能分出三个单值解析函数。

在 取负值，即 ，。

有 ，。因此

$$\Delta_C\arg f(z)^3 =\Delta_C\arg z+\Delta_C\arg(1-z)=\frac{5\pi}{4},$$

从而 。又 ，所以

$$f(i)=-\sqrt[6]{2}\,e^{i\frac{5\pi}{12}}$$

相应地，沿曲线延拓对数时可写为

$$\operatorname{Ln}f(z_2)=\ln|f(z_2)|+i\Delta_C\arg f(z)+i\arg f(z_1)$$

例 2.26　证明 在割去下列曲线的 平面内能分出单值解析分支：从 到 的直线段、从 到 的直线段，以及射线 且 。并求在 时等于 的那一支在 的值。

解　因为 ，所以其支点为 与 。

当 绕 或 一周时， 的值改变 ；

当 同时绕 一周时，其值改变 。

将平面按题设曲线割开后，不可能再单独绕某个支点一周或同时绕 一周，因此在割破后的 平面内可分出无穷多个单值解析分支。

沿图中从 到 的路径 ，有

$$\Delta_C\arg(1-z^2) =\Delta_C\arg(1+z)+\Delta_C\arg(1-z)=0+\pi=\pi$$

因为 。在 时，该分支取值为 ，故 。

因此在 时，

$$\operatorname{Ln}(1-2^2)=\ln|1-2^2|+\pi i=\ln3+\pi i$$

反三角函数与反双曲函数

由 得

$$z=\tan w=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{e^{iw}+e^{-iw}}\cdot\frac1i,$$

因此 ，从而

$$\boxed{\operatorname{Arctan}z=\frac1{2i}\operatorname{Ln}\frac{1+iz}{1-iz}}$$

类似地，

$$\boxed{ \begin{aligned} \operatorname{Arctanh}z&=\frac12\operatorname{Ln}\frac{1+z}{1-z},\\ \operatorname{Arcsin}z&=-i\operatorname{Ln}\left(iz+\sqrt{1-z^2}\right),\\ \operatorname{Arcsinh}z&=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^2+1}\right),\\ \operatorname{Arccos}z&=\frac1i\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^2-1}\right),\\ \operatorname{Arccosh}z&=\operatorname{Ln}\left(z\pm\sqrt{z^2-1}\right) \end{aligned}}$$

例 2.27　求 。

$$\operatorname{Arcsin}2 =-i\operatorname{Ln}(2i\pm\sqrt3\,i) \\ =-i(\operatorname{ln}(2\pm\sqrt3)+\operatorname{ln}i) \\ =\frac\pi2+2k\pi-i\ln(2\pm\sqrt3)\\ k=0,\pm1,\pm2,\ldots$$

因此

$$\operatorname{Arcsin}2=\frac\pi2+2k\pi-i\ln(2\pm\sqrt3)\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$$

例 2.28　求 。

$$\begin{aligned} \operatorname{Arctan}(2i) &=\frac1{2i}\operatorname{Ln}\frac{1+i(2i)}{1-i(2i)} =\frac1{2i}\operatorname{Ln}\left(-\frac13\right)\\ &=\left(k+\frac12\right)\pi+\frac{i\ln3}{2}, \qquad k=0,\pm1,\pm2,\ldots \end{aligned}$$

即

$$\operatorname{Arctan}(2i)=\left(k+\frac12\right)\pi+\frac{i\ln3}{2} \quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$$