3.1 复积分的引入

[TOC]

今后提到的曲线，一般是光滑曲线或逐段光滑曲线，因而是可求长的。

逐段光滑的简单闭曲线称作周线。

定义 设有向曲线 $C$：$z=z(t)$（$\alpha\le t\le\beta$），以$a=z(\alpha)$为起点，$b=z(\beta)$为终点，$f(z)$ 沿 $C$ 有定义。顺着 $C$ 从 $a$ 到 $b$ 的方向取分点

$$\begin{align} a=z_0,z_1,\ldots,z_{n-1},z_n=b \end{align}$$

把曲线 $C$ 分成若干弧段。从 $z_{k-1}$ 到 $z_k$（$k=1,2,\ldots,n$）的每一小弧段上取一点 $\zeta_k$，记

$$S_n=\sum_{k=1}^n f(\zeta_k)\,\Delta z_k,\qquad \Delta z_k=z_k-z_{k-1}.$$

当分点无限增多、这些弧段长度的最大值趋于 $0$ 时，若和式 $S_n$ 的极限存在且等于 $J$，则称 $f(z)$ 沿 $C$（从 $a$ 到 $b$）可积，称 $J$ 为 $f(z)$ 沿 $C$（从 $a$ 到 $b$）的积分，记为

$$J=\int_C f(z)\,dz.$$

$C$ 称为积分路径。

特别地，$\int_C f(z)\,dz$ 表示 $f(z)$ 沿 $C$ 的正方向的积分，$\int_{-C} f(z)\,dz$ 表示 $f(z)$ 沿 $C$ 的反方向的积分。

显然，$f(z)$ 沿曲线 $C$ 可积的必要条件是 $f(z)$ 沿 $C$ 有界。

定理 若 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 沿曲线 $C$ 连续，则 $f(z)$ 沿 $C$ 可积，且

$$\int_C f(z)\,dz=\int_C (u\,dx-v\,dy)+i\int_C (v\,dx+u\,dy).$$

例 3.1 令 $C$ 表示连接点 $a,b$ 的任一曲线，证明

(1) $\int_C dz=b-a$

(2) $\int_C z\,dz=\dfrac12(b^2-a^2)$

证明

(1) 取 $f(z)\equiv 1$，则

$$S_n=\sum_{k=1}^n 1\cdot \Delta z_k=b-a,$$

取极限，得

$$\int_C dz=b-a.$$

(2) 取 $\zeta_k=\dfrac{z_k+z_{k-1}}{2}$，则

$$S_n=\sum_{k=1}^n \frac{z_k+z_{k-1}}{2}(z_k-z_{k-1}) =\frac12\sum_{k=1}^n (z_k^2-z_{k-1}^2) =\frac12(b^2-a^2).$$

取极限，得

$$\int_C z\,dz=\frac12(b^2-a^2).$$

复积分的变量代换公式

考虑积分$\int_C f(z)\,dz$.

设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，则有

$$\begin{aligned} \int_Cf(z)\,dz&=\int_Cudx-vdy+i\,\int_Cvdx+udy \\ &=\int_C[u(t)x'(t)-v(t)y'(t)]dt+i\,\int_C[v(t)x'(t)+u(y)y'(t)]dt \\ &=\int_Cu(t)[x'(t)+iy'(t)]dt+[iv(t)x'(t)-v(t)y'(t)]dt \\ &=\int_Cu(t)z'(t)+iv(t)[x'(t)+iy'(t)]dt \\ &=\int_C[u(t)+iv(t)]z'(t)dt \\ &=\int_Cf[z(t)]z'(t)dt \end{aligned}$$

所以

$$\begin{aligned} \int_Cf(z)\,dz&=\int_Cf[z(t)]z'(t)dt \\ &=\int_\alpha^\beta Re[f[z(t)]z'(t)]dt+i\,\int_\alpha^\beta Im[f[z(t)]z'(t)]dt \end{aligned}$$

设 $C$ 的参数方程为 $z=z(t)=x(t)+iy(t)$（$\alpha\le t\le\beta$），则

$$\int_C f(z)\,dz =\int_\alpha^\beta f(z(t))z'(t)\,dt.$$

若写成实部与虚部，则有

$$\int_C f(z)\,dz =\int_\alpha^\beta \operatorname{Re}\bigl[f(z(t))z'(t)\bigr]dt +i\int_\alpha^\beta \operatorname{Im}\bigl[f(z(t))z'(t)\bigr]dt.$$

例 3.2 试证

$$\int_C \frac{dz}{(z-a)^n}= \begin{cases} 2\pi i, & n=1,\\ 0, & n\ne 1\text{ 且 }n\in\mathbb Z, \end{cases}$$

其中 $C$ 为圆周 $|z-a|=\rho$.

证明 令 $z-a=\rho e^{it}$，$t\in[0,2\pi]$，则 $dz=i\rho e^{it}dt$，从而

$$\int_C \frac{dz}{(z-a)^n} =\int_0^{2\pi}\frac{i\rho e^{it}}{\rho^n e^{int}}dt =i\rho^{1-n}\int_0^{2\pi} e^{i(1-n)t}\,dt.$$

当 $n=1$ 时，原式 $=i\int_0^{2\pi}dt=2\pi i$；

当 $n\ne 1$ 时，

$$Re[e^{i(1-n)t}]=\cos(1-n)t,Im[e^{i(i-n)t}]=\sin(1-n)t \\$$

则

$$\begin{aligned} \int_C \frac{dz}{(z-a)^n}&=i\rho^{1-n}(\int_0^{2\pi}\cos(1-n)t\,dt+i\,\int_0^{2\pi}\sin(1-n)t\,dt) \\ &=i\rho^{1-n}(0+0) \\ &=0 \end{aligned}$$

证毕.

复积分的基本性质

1. 线性：$\int_C (af(z)+bg(z))\,dz=a\int_C f(z)\,dz+b\int_C g(z)\,dz$
2. 分段可加：$\int_{C_1+C_2}f(z)\,dz=\int_{C_1}f(z)\,dz+\int_{C_2}f(z)\,dz$
3. 反向变号：$\int_{C^-}f(z)\,dz=-\int_C f(z)\,dz$
4. 模不等式：

$$\left|\int_C f(z)\,dz\right|\le \int_C |f(z)|\,|dz|=\int_C |f(z)|\,ds.$$

证明一下模不等式：

由三角不等式，

$$\left|\sum_{k=1}^n f(\zeta_k)\Delta z_k\right| \le \sum_{k=1}^n |f(\zeta_k)\Delta z_k| \le \sum_{k=1}^n |f(\zeta_k)|\,|\Delta z_k|.$$

取极限即得结论。

积分估值定理 若$f(z)$ 沿曲线 $C$ 连续，且存在正数 $M$ 使 $|f(z)|\le M$，设 $C$ 长为 $L$，则

$$\left|\int_C f(z)\,dz\right|\le ML.$$

证明 由模不等式，

$$\left|\int_C f(z)\,dz\right|\le \int_C |f(z)|\,ds\le \int_C M\,ds=ML.$$

例 3.3 证明 $\left|\int_C \dfrac{dz}{z^2}\right|\le 2$，其中积分路径 $C$ 是连接 $i$ 和 $2+i$ 的直线段

证明 取 $f(z)=\dfrac1{z^2}$。沿路径 $C$ 有 $y=1$，故$|f(z)|=\dfrac1{x^2+y^2}=\dfrac1{x^2+1}\le 1$，取 $M=1$。
又 $L=|2+i-i|=2$，于是由积分估值定理，

$$\left|\int_C \frac{dz}{z^2}\right|\le 2.$$

例 3.4 证明

$$\left|\int_{|z|=r}\frac{dz}{(z-a)(z+a)}\right|<\frac{2\pi r}{\bigl|r^2-|a|^2\bigr|},$$

其中 $r>0$，且 $|a|\ne r$.

证明 由 $L=2\pi r$，且当 $|z|=r$ 时，

$$\left|\frac1{(z-a)(z+a)}\right|=\frac1{|z^2-a^2|} \le \frac1{\bigl||z|^2-|a|^2\bigr|} =\frac1{\bigl|r^2-|a|^2\bigr|}=M.$$

故由积分估值定理得

$$\left|\oint_{|z|=r}\frac{dz}{(z-a)(z+a)}\right| \le ML =\frac{2\pi r}{\bigl|r^2-|a|^2\bigr|}.$$

另解：

$$\left|\oint_{|z|=r}\frac{dz}{(z-a)(z+a)}\right| \le \oint_{|z|=r}\frac{|dz|}{|z^2-a^2|} \le \oint_{|z|=r}\frac{|dz|}{\bigl|r^2-|a|^2\bigr|} =\frac{2\pi r}{\bigl|r^2-|a|^2\bigr|}.$$

注 实变函数的积分中值定理不能直接推广到复积分。

反例

$$\int_0^{2\pi}e^{i\theta}\,d\theta =\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta+i\int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0,$$

但 $e^{i\zeta}(2\pi-0)\ne 0$。