§3.4 解析函数与调和函数

在上一节已经证明：在区域 $D$ 内解析的函数有任意阶导数。

由 C.-R. 方程

$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y},\\[6pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}, \end{cases}$$

可得

$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2u}{\partial y^2}, \qquad \frac{\partial^2v}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2v}{\partial y^2}.$$

因此

$$\boxed{\Delta u=0,\qquad \Delta v=0},$$

其中 $\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}$ 为 Laplace 算子。

定义 二元实变函数 $H(x,y)$ 在区域 $D$ 内有二阶连续偏导数，且满足 $\Delta H=0$，则称 $H(x,y)$ 为区域 $D$ 内的调和函数。

定义 在区域 $D$ 中，若两个调和函数 $u,v$ 满足 C.-R. 方程

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x},$$

则称 $v$ 为 $u$ 在区域 $D$ 内的共轭调和函数。

定理 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析的必要条件是：实部 $u$ 与虚部 $v$ 都是在区域 $D$ 内的调和函数。

例 3.21 验证 $u(x,y)=x^3-3xy^2$ 是 $z$ 平面上的调和函数，并求以 $u(x,y)$ 为实部的解析函数 $f(z)$，使 $f(0)=i$

解

$$u_x=3x^2-3y^2,\qquad u_{xx}=6x,$$ $$u_y=-6xy,\qquad u_{yy}=-6x.$$

因此

$$u_{xx}+u_{yy}=0,$$

所以 $u(x,y)$ 是复平面上的调和函数。

由 C.-R. 方程

$$dv=-u_y\,dx+u_x\,dy =6xy\,dx+(3x^2-3y^2)\,dy.$$

积分得

$$v(x,y)=3x^2y-y^3+C.$$

于是

$$f(z)=u+iv =x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3+C).$$

因为

$$(x+iy)^3=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3),$$

所以

$$f(z)=z^3+iC.$$

代入 $f(0)=i$，得 $C=1$，故

$$f(z)=z^3+i$$