第一章 复数与复变函数

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1.1 复数

复平面

设 ， 称为 的实数对形式。

轴、 轴分别对应实轴、虚轴。

复平面 ：“数 = 点”。

模

，。

因此

$$\begin{cases} -|z|\leq \operatorname{Re}z\leq |z|,\\ -|z|\leq \operatorname{Im}z\leq |z|. \end{cases}$$

且

$$\begin{cases} |z_1+z_2+\cdots+z_n|\leq |z_1|+|z_2|+\cdots+|z_n|,\\ \bigl||z_1|-|z_2|\bigr|\leq |z_1-z_2|. \end{cases}$$

辐角

$$\tan\theta=\frac{y}{x},\qquad \theta=\operatorname{Arg}z=\arg z+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z.$$

当 时，称为辐角主值。

时，辐角无定义。

当 时，

$$\arg z= \begin{cases} \arctan\dfrac{y}{x}, & x>0,\\[6pt] \dfrac{\pi}{2}, & x=0\text{ 且 }y>0,\\[6pt] \arctan\dfrac{y}{x}+\pi, & x<0\text{ 且 }y\geq 0,\\[6pt] \arctan\dfrac{y}{x}-\pi, & x<0\text{ 且 }y<0,\\[6pt] -\dfrac{\pi}{2}, & x=0\text{ 且 }y<0. \end{cases}$$

欧拉公式与指数形式

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta).$$

当 时， 称为单位复数。

$$z=re^{i\theta} \quad\Longrightarrow\quad z=|z|e^{i\arg z}.$$

性质

$$|z_1z_2|=|z_1||z_2|, \qquad \frac{|z_1|}{|z_2|}=\left|\frac{z_1}{z_2}\right|\quad(z_2\neq 0).$$ $$\operatorname{Arg}(z_1z_2)=\operatorname{Arg}z_1+\operatorname{Arg}z_2,$$ $$\operatorname{Arg}\frac{z_1}{z_2}=\operatorname{Arg}z_1-\operatorname{Arg}z_2.$$

若 ，，则

$$z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}.$$

令 ，则 ，即向量旋转。

棣莫弗公式（de Moivre）

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n =\cos n\theta+i\sin n\theta.$$

解方程

其中 ，。

设 ，，则

$$\rho^ne^{in\varphi}=re^{i\theta},$$

所以

$$\begin{cases} \rho^n=r,\\ n\varphi=\theta+2k\pi, \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{cases} \rho=\sqrt[n]{r},\\[4pt] \varphi=\dfrac{\theta+2k\pi}{n}. \end{cases}$$

因此， 的 次方根为

$$w_k =\sqrt[n]{r}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}} =e^{i\frac{2k\pi}{n}}\sqrt[n]{r}\,e^{i\frac{\theta}{n}}, \qquad k=0,1,2,\ldots,n-1.$$

是 的 个 次方根，记为 。

并且

$$\begin{cases} 1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}=0,\\ \omega^n=1. \end{cases}$$

例 1.9：求

解：

$$-8=8(\cos\pi+i\sin\pi).$$

因此

$$(\sqrt[3]{-8})_k =\sqrt[3]{8} \left( \cos\frac{\pi+2k\pi}{3} +i\sin\frac{\pi+2k\pi}{3} \right), \qquad k=0,1,2.$$

当 时，

$$(\sqrt[3]{-8})_0=1+\sqrt3i.$$

当 时，

$$(\sqrt[3]{-8})_1=-2.$$

当 时，

$$(\sqrt[3]{-8})_2=1-\sqrt3i.$$

例 1.10：解方程

解：设 ，则 ， 为 的五次方根。

，其中 ，。

于是

$$\begin{aligned} z &=\frac{w-1}{w+1} =\frac{e^{i\alpha}-1}{e^{i\alpha}+1}\\ &=\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha-1} {\cos\alpha+i\sin\alpha+1}\\ &=\frac{ \sin\frac\alpha2\left(-\sin\frac\alpha2+i\cos\frac\alpha2\right) }{ \cos\frac\alpha2\left(\cos\frac\alpha2+i\sin\frac\alpha2\right) }\\ &=\tan\frac\alpha2\, \frac{e^{i(\frac\pi2+\frac\alpha2)}}{e^{i\frac\alpha2}} =i\tan\frac\alpha2. \end{aligned}$$

因此原方程的根为

$$z_0=0, \quad z_1=i\tan\frac\pi5, \quad z_2=i\tan\frac{2\pi}{5}, \quad z_3=i\tan\frac{3\pi}{5}, \quad z_4=i\tan\frac{4\pi}{5}.$$

共轭复数

$$\overline{\overline z}=z, \qquad \overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2},$$ $$\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\,\overline{z_2}, \qquad \overline{\frac{z_1}{z_2}} =\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \quad(z_2\neq 0).$$ $$|z|^2=z\overline z, \qquad \operatorname{Re}z=\frac{z+\overline z}{2}, \qquad \operatorname{Im}z=\frac{z-\overline z}{2i}.$$

例 1.16

求证：三个复数 成为一个等边三角形三个顶点的充要条件是

$$z_1^2+z_2^2+z_3^2 =z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1.$$

证明： 是等边三角形的充要条件为，将 绕 旋转 得 ，即

$$(z_3-z_1)=(z_2-z_1)e^{\pm\frac\pi3 i}.$$

即

$$\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} =\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i.$$

因此

$$\left( \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}-\frac12 \right)^2 =\frac34,$$

从而

$$z_1^2+z_2^2+z_3^2 =z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1.$$

1.2 复平面上的点集

1.2.1 平面点集

1. 由 所确定的平面点集，称为点 的 邻域，记为 。

   即 的去心 邻域，记为 。

2. 考虑点集 ：

   若平面上一点 （不必属于 ）的任意邻域都有 的无穷多个点，则称 为 的聚点。

   若 属于 但不是 的聚点，则称 为 的孤立点。

   若 不属于 ，又非 的聚点，则称为 的外点。

3. 点集 的所有聚点所成集合记为 。

4. 若 ，则称 为闭集。

   若点集 的点 有一邻域全含于 内，称 为 的内点。

   若点集 的点皆为内点，则称 为开集。

   若在点 的任意邻域内，同时有属于点集 和不属于 的点，则称 为 的边界点。

   点集 的边界点的全体所组成的点集称为 的边界，记为 。

   点集 的孤立点也是 的边界点。

5. 若

   $$\exists M>0,\quad \text{s.t.}\quad \forall z\in E,\ |z|\leq M,$$

   则称 为有界集，否则为无界集。

1.2.2 区域与 Jordan 曲线

1. 称为区域，如果：

   1. 非空；
   2. 是开集；
   3. 中任意两点可用全在 中的折线连接。

2. 区域 及其边界 称为闭域，记为 。

例 1.18：试证点集 的边界是闭集，即

证：设 为 的聚点。对任意 ，存在 ，使得

$$z\in N_\varepsilon(z_0), \qquad z\in\partial E.$$

在 内能画出以 为圆心、充分小半径的圆。由 可见，在此圆内属于 和不属于 的点都存在，于是在 内属于 的点和不属于 的点都存在，故 。

因此， 是闭集。

1. 设 是实变量 的两个实函数，在闭区间 上连续，则由

   $$z=x(t)+iy(t),\qquad \alpha\leq t\leq\beta$$

   所决定的点集 ，称为 平面上的一条连续曲线。 是曲线的起点和终点。

   对满足

   $$\alpha<t_1<\beta, \qquad \alpha\leq t_2\leq\beta, \qquad t_1\neq t_2$$

   且 的点，称为此曲线的重点。

2. 没有重点的连续曲线称为简单曲线或 Jordan 曲线。

   的简单曲线称为简单闭曲线。

3. 设连续弧 的参数方程为

   $$z=z(t),\qquad \alpha\leq t\leq\beta.$$

   任取实数列

   $$\{t_n\}:\quad \alpha=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_{n-1}<t_n=\beta,$$

   折线弧的长度为

   $$l_n=\sum_{j=1}^{n}|z(t_j)-z(t_{j-1})|.$$

   若对于所有的数列 ， 有上界，则称弧 为可求长的，其上确界

   $$L=\sup l_n$$

   称为弧 的长度。

4. 简单闭曲线

   $$C:\quad z=x(t)+iy(t),\qquad \alpha\leq t\leq\beta$$

   在 上， 存在、连续且不全为 ，则称 为光滑曲线。

   特别地，若

   $$x'(\alpha)=x'(\beta), \qquad y'(\alpha)=y'(\beta),$$

   则称 为光滑闭曲线。光滑曲线有连续可转动的切线。

   注： 为右导数， 为左导数。

5. 有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。

6. 逐段光滑曲线必是可求长曲线；简单曲线不一定可求长。

例 1.24

简单曲线 的参数方程为

$$\begin{cases} x(t)=t,\\[4pt] y(t)= \begin{cases} t\sin\dfrac1t, & t\neq 0,\\[6pt] 0, & t=0, \end{cases} \end{cases} \qquad 0\leq t\leq 1.$$

取

$$A_n\left( \frac{1}{2n\pi+\frac\pi2}, \frac{1}{2n\pi+\frac\pi2} \right), \qquad B_n\left(\frac{1}{2n\pi},0\right),$$

皆为 上的点。

$$\begin{aligned} A_nB_n &=\sqrt{ \left( \frac{1}{2n\pi+\frac\pi2}-\frac{1}{2n\pi} \right)^2 + \left( \frac{1}{2n\pi+\frac\pi2}-0 \right)^2 }\\ &>\frac{1}{\left(2n+\frac12\right)\pi} >\frac{1}{2(n+1)\pi}. \end{aligned}$$

级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2(n+1)\pi}$$

发散，所以

$$\sum_{n=1}^{\infty}A_nB_n$$

也发散。

故简单曲线 是不可求长的。

定理 1.1（Jordan 定理）

任一简单闭曲线 将 平面唯一分成 、 和 三个点集：

1. 三个点集彼此不交；
2. 是一个有界区域，称为 的内部；
3. 是一个无界区域，称为 的外部；
4. 若简单折线 的一个端点属于 ，另一个端点属于 ，则 与 必有交点。

1. 设 为复平面上的区域。若在 内任意一条简单闭曲线，其内部仍全含于 ，则称 为单连通区域；否则称为多连通区域。

2. 所含不止一个点的闭集 ，如果不能划分为两个无公共点的非空闭集，则称 为连续点集。

   若区域 的边界是互不相交的 个连续点集，则称 为 连通区域。

1.3 复变函数

设 。对任意 ，有唯一的 与 对应，则称在 上确定了一个单值函数 （）。

若有多个 与 对应，则为多值函数。

称为 的定义域， 值的全体所成集合 称为 的值域。

例 1.25

下列是单值函数：，，，（）。

下列是多值函数：，，（）。

设 ，，则

$$w=u(x,y)+iv(x,y),$$

其中 与 是二元实函数。

若 ，则 。

给出从 平面到 平面的一个对应关系。 称作 的像点， 称作 的原像。因此，像点与原像可能不止一个。

若

$$\forall z\in E, \quad \exists w\in F, \quad \text{s.t.}\quad w=f(z),$$

则称 把 变入 （即 ），或称 是从 到 的变换。

若 ，且

$$\forall w\in F, \quad \exists z\in E, \quad \text{s.t.}\quad w=f(z),$$

则称 把 映成 （即 ），或称 是从 到 的满变换。

若 是从 到 的满变换，则

$$z=f^{-1}(w)$$

称为 的反函数或逆变换。

例 1.28

设 ，试问把 平面上的下列曲线分别变为 平面上的何种曲线？

1. ，其中 ；
2. ，即 ；
3. 。

解：设

$$z=x+iy=r(\cos\theta+i\sin\theta),$$ $$w=u+iv=R(\cos\varphi+i\sin\varphi).$$

于是

$$u=x^2-y^2, \qquad v=2xy, \qquad R=r^2, \qquad \varphi=2\theta.$$

1. ，则 ，，变为

   $$u^2+v^2=16, \qquad v>0.$$

2. ，变为射线 。

   与 下的两条射线，均满足

   $$\arg w=\frac{2\pi}{3}, \qquad \arg w=\frac{8\pi}{3} =\frac{2\pi}{3}\pmod{2\pi}.$$
3. $$w=4+2xyi,$$

   因此 ，变为直线 。

复变函数的极限

设 在 上有定义， 为 的聚点。若存在 ，使得

$$\forall\varepsilon>0, \quad \exists\delta>0, \quad 0<|z-z_0|<\delta, \quad z\in E,$$

都有

$$|f(z)-w_0|<\varepsilon,$$

则称 沿 于 有极限 ，并记为

$$\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in E}}f(z)=w_0.$$

注：

$$\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in E}}f(z)$$

与 趋于 的方式无关。

若

$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y), \qquad z_0=x_0+iy_0, \qquad w_0=u_0+iv_0,$$

则

$$\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in E}}f(z)=w_0$$

等价于

$$\begin{cases} \displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0,\\[8pt] \displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0. \end{cases}$$

上的极限就是 上向量值函数的极限。

其他性质同一元函数。

例 1.29

证明

$$f(z)=\frac{z}{\overline z}\quad(z\neq 0)$$

当 时极限不存在。

证：令

$$z=x+iy, \qquad f(z)=u+iv.$$

则

$$u=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, \qquad v=\frac{2xy}{x^2+y^2}.$$

沿 ，

$$\lim_{\substack{x\to 0\\y=kx}}v(x,y) =\lim_{x\to 0} \frac{2x\cdot kx}{x^2+(kx)^2} =\frac{2k}{1+k^2}.$$

因此

$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)$$

不存在，故

$$\lim_{z\to z_0}f(z)$$

不存在。

例 1.30

$$f(z)=\frac{1}{2i} \left( \frac{z}{\overline z}-\frac{\overline z}{z} \right), \qquad z\neq 0.$$

有

$$f(z)=\frac{1}{2i}\left(e^{2i\theta}-e^{-2i\theta}\right) =\sin 2\theta.$$

因此

$$\lim_{z\to 0}f(z)=\lim_{z\to 0}\sin 2\theta.$$

当 时，

$$\lim_{z\to 0}f(z)=0.$$

当 时，

$$\lim_{z\to 0}f(z)=1.$$

所以

$$\lim_{z\to 0}f(z)$$

不存在。

连续

若 在 上各点均连续，则称 在 上连续。

例 1.31

若

$$\lim_{z\to z_0}f(z)=\eta,$$

则 在点 的某一去心邻域内有界。

例 1.32

设 在点 连续，且 。试证 在点 的某一邻域内恒不为 。

证：

$$\forall\varepsilon>0, \quad \exists\delta>0, \quad |z-z_0|<\delta,$$

使得

$$|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon.$$

取

$$\varepsilon=\frac12|f(z_0)|,$$

则

$$|f(z)|>|f(z_0)|-\varepsilon =\frac12|f(z_0)|>0.$$

因此 在 内恒不为 。

定理：Bolzano–Weierstrass 定理

每一个有界无穷点集，至少有一个聚点。

定理：闭集套定理

设无穷闭集列 至少一个为有界，且

$$\overline{F_n}\supseteq\overline{F_{n+1}}, \qquad \lim_{n\to\infty}d(\overline{F_n})=0,$$

则仅有唯一一点

$$z_0\in\overline{F_n}.$$

定理：Heine–Borel 覆盖定理

设有界闭集 的每一点 都是圆 的圆心，则 中必有有限个圆把 覆盖住，即 的每一点至少属于这有限个圆中的一个。

有界闭集 上的连续函数

1. 存在 ，使得

   $$|f(z)|\leq M.$$

2. 存在 ，使得

   $$|f(z_2)|\leq |f(z)|\leq |f(z_1)|.$$

3. 对任意 ，存在 ，使得只要

   $$|z_1-z_2|<\delta,$$

   就有

   $$|f(z_1)-f(z_2)|<\varepsilon.$$

1.4 复球面与无穷远点

：南极，：北极。

与复球面上的点 相对应，因此“”与复球面的 点相对应。

$$\mathbb C_\infty=\mathbb C+\{\infty\},$$

称作扩充复平面。

无意义的运算： ，，，。

$$\frac{\infty}{a}=\infty, \qquad \frac{a}{\infty}=0, \qquad \infty\pm a=a\pm\infty=\infty.$$ $$\infty\cdot b=b\infty=\infty, \qquad \frac b0=\infty, \qquad \infty\cdot\infty=\infty.$$

无实部、虚部、，且

$$|\infty|=+\infty.$$ $$N_\varepsilon(\infty)\longrightarrow \text{球盖}.$$

广义连续

对于

$$\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0),$$

若 、 之一或同时取 ，则称 在 广义连续。

例如，对于 且 时，

$$\lim_{z\to\infty}f(z)=f(\infty)$$

等价于：

$$\forall\varepsilon>0, \quad \exists\delta>0,$$

只要

$$|z|>\frac1\delta,$$

就有

$$|f(z)-f(\infty)|<\varepsilon.$$