第一章 复数与复变函数

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1.1 复数

复平面

设 $z=x+iy\longrightarrow(x,y)$，$(x,y)$ 称为 $z$ 的实数对形式。

$x$ 轴、$y$ 轴分别对应实轴、虚轴。

复平面 $\mathbb C$：“数 = 点”。

模

$\overrightarrow{Oz}=x+iy$，$|\overrightarrow{Oz}|=r=\sqrt{x^2+y^2}$。

因此

$$\begin{cases} -|z|\leq \operatorname{Re}z\leq |z|,\\ -|z|\leq \operatorname{Im}z\leq |z|. \end{cases}$$

且

$$\begin{cases} |z_1+z_2+\cdots+z_n|\leq |z_1|+|z_2|+\cdots+|z_n|,\\ \bigl||z_1|-|z_2|\bigr|\leq |z_1-z_2|. \end{cases}$$

辐角

$$\tan\theta=\frac{y}{x},\qquad \theta=\operatorname{Arg}z=\arg z+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z.$$

当 $\arg z\in(-\pi,\pi]$ 时，称为辐角主值。

$z=0$ 时，辐角无定义。

当 $z\neq 0$ 时，

$$\arg z= \begin{cases} \arctan\dfrac{y}{x}, & x>0,\\[6pt] \dfrac{\pi}{2}, & x=0\text{ 且 }y>0,\\[6pt] \arctan\dfrac{y}{x}+\pi, & x<0\text{ 且 }y\geq 0,\\[6pt] \arctan\dfrac{y}{x}-\pi, & x<0\text{ 且 }y<0,\\[6pt] -\dfrac{\pi}{2}, & x=0\text{ 且 }y<0. \end{cases}$$

欧拉公式与指数形式

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta).$$

当 $r=1$ 时，$z$ 称为单位复数。

$$z=re^{i\theta} \quad\Longrightarrow\quad z=|z|e^{i\arg z}.$$

性质

$$|z_1z_2|=|z_1||z_2|, \qquad \frac{|z_1|}{|z_2|}=\left|\frac{z_1}{z_2}\right|\quad(z_2\neq 0).$$ $$\operatorname{Arg}(z_1z_2)=\operatorname{Arg}z_1+\operatorname{Arg}z_2,$$ $$\operatorname{Arg}\frac{z_1}{z_2}=\operatorname{Arg}z_1-\operatorname{Arg}z_2.$$

若 $z_1=r_1e^{i\theta_1}$，$z_2=r_2e^{i\theta_2}$，则

$$z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}.$$

令 $r_2=1$，则 $z_1z_2=r_1e^{i(\theta_1+\theta_2)}$，即向量旋转。

棣莫弗公式（de Moivre）

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n =\cos n\theta+i\sin n\theta.$$

解方程 $w^n=z$

其中 $n\geq 2$，$n\in\mathbb N$。

设 $z=re^{i\theta}$，$w=\rho e^{i\varphi}$，则

$$\rho^ne^{in\varphi}=re^{i\theta},$$

所以

$$\begin{cases} \rho^n=r,\\ n\varphi=\theta+2k\pi, \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{cases} \rho=\sqrt[n]{r},\\[4pt] \varphi=\dfrac{\theta+2k\pi}{n}. \end{cases}$$

因此，$z$ 的 $n$ 次方根为

$$w_k =\sqrt[n]{r}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}} =e^{i\frac{2k\pi}{n}}\sqrt[n]{r}\,e^{i\frac{\theta}{n}}, \qquad k=0,1,2,\ldots,n-1.$$

$e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ 是 $1$ 的 $n$ 个 $n$ 次方根，记为 $1,\omega,\omega^2,\ldots,\omega^{n-1}$。

并且

$$\begin{cases} 1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}=0,\\ \omega^n=1. \end{cases}$$

例 1.9：求 $\sqrt[3]{-8}$

解：

$$-8=8(\cos\pi+i\sin\pi).$$

因此

$$(\sqrt[3]{-8})_k =\sqrt[3]{8} \left( \cos\frac{\pi+2k\pi}{3} +i\sin\frac{\pi+2k\pi}{3} \right), \qquad k=0,1,2.$$

当 $k=0$ 时，

$$(\sqrt[3]{-8})_0=1+\sqrt3i.$$

当 $k=1$ 时，

$$(\sqrt[3]{-8})_1=-2.$$

当 $k=2$ 时，

$$(\sqrt[3]{-8})_2=1-\sqrt3i.$$

例 1.10：解方程 $(1+z)^5=(1-z)^5$

解：设 $w=\dfrac{1+z}{1-z}$，则 $w^5=1$，$w$ 为 $1$ 的五次方根。

$w=e^{i\alpha}$，其中 $\alpha=\dfrac{2k\pi}{5}$，$k=0,1,2,3,4$。

于是

$$\begin{aligned} z &=\frac{w-1}{w+1} =\frac{e^{i\alpha}-1}{e^{i\alpha}+1}\\ &=\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha-1} {\cos\alpha+i\sin\alpha+1}\\ &=\frac{ \sin\frac\alpha2\left(-\sin\frac\alpha2+i\cos\frac\alpha2\right) }{ \cos\frac\alpha2\left(\cos\frac\alpha2+i\sin\frac\alpha2\right) }\\ &=\tan\frac\alpha2\, \frac{e^{i(\frac\pi2+\frac\alpha2)}}{e^{i\frac\alpha2}} =i\tan\frac\alpha2. \end{aligned}$$

因此原方程的根为

$$z_0=0, \quad z_1=i\tan\frac\pi5, \quad z_2=i\tan\frac{2\pi}{5}, \quad z_3=i\tan\frac{3\pi}{5}, \quad z_4=i\tan\frac{4\pi}{5}.$$

共轭复数

$$\overline{\overline z}=z, \qquad \overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2},$$ $$\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\,\overline{z_2}, \qquad \overline{\frac{z_1}{z_2}} =\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \quad(z_2\neq 0).$$ $$|z|^2=z\overline z, \qquad \operatorname{Re}z=\frac{z+\overline z}{2}, \qquad \operatorname{Im}z=\frac{z-\overline z}{2i}.$$

例 1.16

求证：三个复数 $z_1,z_2,z_3$ 成为一个等边三角形三个顶点的充要条件是

$$z_1^2+z_2^2+z_3^2 =z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1.$$

证明：$\triangle z_1z_2z_3$ 是等边三角形的充要条件为，将 $\overrightarrow{z_1z_2}$ 绕 $z_1$ 旋转 $\pm\dfrac\pi3$ 得 $\overrightarrow{z_1z_3}$，即

$$(z_3-z_1)=(z_2-z_1)e^{\pm\frac\pi3 i}.$$

即

$$\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} =\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i.$$

因此

$$\left( \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}-\frac12 \right)^2 =\frac34,$$

从而

$$z_1^2+z_2^2+z_3^2 =z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1.$$

1.2 复平面上的点集

1.2.1 平面点集

1. 由 $|z-z_0|<\rho$ 所确定的平面点集，称为点 $z_0$ 的 $\rho$ 邻域，记为 $N_\rho(z_0)$。

   $0<|z-z_0|<\rho$ 即 $z_0$ 的去心 $\rho$ 邻域，记为 $N_\rho(z_0)\setminus\{z_0\}$。

2. 考虑点集 $E$：

   若平面上一点 $z_0$（不必属于 $E$）的任意邻域都有 $E$ 的无穷多个点，则称 $z_0$ 为 $E$ 的聚点。

   若 $z_0$ 属于 $E$ 但不是 $E$ 的聚点，则称 $z_0$ 为 $E$ 的孤立点。

   若 $z_0$ 不属于 $E$，又非 $E$ 的聚点，则称为 $E$ 的外点。

3. 点集 $E$ 的所有聚点所成集合记为 $E’$。

4. 若 $E’\subseteq E$，则称 $E$ 为闭集。

   若点集 $E$ 的点 $z_0$ 有一邻域全含于 $E$ 内，称 $z_0$ 为 $E$ 的内点。

   若点集 $E$ 的点皆为内点，则称 $E$ 为开集。

   若在点 $z_0$ 的任意邻域内，同时有属于点集 $E$ 和不属于 $E$ 的点，则称 $z_0$ 为 $E$ 的边界点。

   点集 $E$ 的边界点的全体所组成的点集称为 $E$ 的边界，记为 $\partial E$。

   点集 $E$ 的孤立点也是 $E$ 的边界点。

5. 若

   $$\exists M>0,\quad \text{s.t.}\quad \forall z\in E,\ |z|\leq M,$$

   则称 $E$ 为有界集，否则为无界集。

1.2.2 区域与 Jordan 曲线

1. $D$ 称为区域，如果：

   1. $D$ 非空；
   2. $D$ 是开集；
   3. $D$ 中任意两点可用全在 $D$ 中的折线连接。

2. 区域 $D$ 及其边界 $C$ 称为闭域，记为 $\overline D=D+C$。

例 1.18：试证点集 $E$ 的边界是闭集，即 $(\partial E)’\subseteq\partial E$

证：设 $z_0$ 为 $\partial E$ 的聚点。对任意 $\varepsilon>0$，存在 $z\neq z_0$，使得

$$z\in N_\varepsilon(z_0), \qquad z\in\partial E.$$

在 $N_\varepsilon(z_0)$ 内能画出以 $z$ 为圆心、充分小半径的圆。由 $z\in\partial E$ 可见，在此圆内属于 $E$ 和不属于 $E$ 的点都存在，于是在 $N_\varepsilon(z_0)$ 内属于 $E$ 的点和不属于 $E$ 的点都存在，故 $z_0\in\partial E$。

因此，$\partial E$ 是闭集。

1. 设 $x(t),y(t)$ 是实变量 $t$ 的两个实函数，在闭区间 $[\alpha,\beta]$ 上连续，则由

   $$z=x(t)+iy(t),\qquad \alpha\leq t\leq\beta$$

   所决定的点集 $C$，称为 $z$ 平面上的一条连续曲线。$z(\alpha),z(\beta)$ 是曲线的起点和终点。

   对满足

   $$\alpha<t_1<\beta, \qquad \alpha\leq t_2\leq\beta, \qquad t_1\neq t_2$$

   且 $z(t_1)=z(t_2)$ 的点，称为此曲线的重点。

2. 没有重点的连续曲线称为简单曲线或 Jordan 曲线。

   $z(\alpha)=z(\beta)$ 的简单曲线称为简单闭曲线。

3. 设连续弧 $AB$ 的参数方程为

   $$z=z(t),\qquad \alpha\leq t\leq\beta.$$

   任取实数列

   $$\{t_n\}:\quad \alpha=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_{n-1}<t_n=\beta,$$

   折线弧的长度为

   $$l_n=\sum_{j=1}^{n}|z(t_j)-z(t_{j-1})|.$$

   若对于所有的数列 $\{t_n\}$，$l_n$ 有上界，则称弧 $AB$ 为可求长的，其上确界

   $$L=\sup l_n$$

   称为弧 $AB$ 的长度。

4. 简单闭曲线

   $$C:\quad z=x(t)+iy(t),\qquad \alpha\leq t\leq\beta$$

   在 $\alpha<t<\beta$ 上，$x’(t),y’(t)$ 存在、连续且不全为 $0$，则称 $C$ 为光滑曲线。

   特别地，若

   $$x'(\alpha)=x'(\beta), \qquad y'(\alpha)=y'(\beta),$$

   则称 $C$ 为光滑闭曲线。光滑曲线有连续可转动的切线。

   注：$x’(\alpha),y’(\alpha)$ 为右导数，$x’(\beta),y’(\beta)$ 为左导数。

5. 有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。

6. 逐段光滑曲线必是可求长曲线；简单曲线不一定可求长。

例 1.24

简单曲线 $\Gamma$ 的参数方程为

$$\begin{cases} x(t)=t,\\[4pt] y(t)= \begin{cases} t\sin\dfrac1t, & t\neq 0,\\[6pt] 0, & t=0, \end{cases} \end{cases} \qquad 0\leq t\leq 1.$$

取

$$A_n\left( \frac{1}{2n\pi+\frac\pi2}, \frac{1}{2n\pi+\frac\pi2} \right), \qquad B_n\left(\frac{1}{2n\pi},0\right),$$

皆为 $\Gamma$ 上的点。

$$\begin{aligned} A_nB_n &=\sqrt{ \left( \frac{1}{2n\pi+\frac\pi2}-\frac{1}{2n\pi} \right)^2 + \left( \frac{1}{2n\pi+\frac\pi2}-0 \right)^2 }\\ &>\frac{1}{\left(2n+\frac12\right)\pi} >\frac{1}{2(n+1)\pi}. \end{aligned}$$

级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2(n+1)\pi}$$

发散，所以

$$\sum_{n=1}^{\infty}A_nB_n$$

也发散。

故简单曲线 $\Gamma$ 是不可求长的。

定理 1.1（Jordan 定理）

任一简单闭曲线 $C$ 将 $z$ 平面唯一分成 $C$、$I(C)$ 和 $E(C)$ 三个点集：

1. 三个点集彼此不交；
2. $I(C)$ 是一个有界区域，称为 $C$ 的内部；
3. $E(C)$ 是一个无界区域，称为 $C$ 的外部；
4. 若简单折线 $P$ 的一个端点属于 $I(C)$，另一个端点属于 $E(C)$，则 $P$ 与 $C$ 必有交点。

1. 设 $D$ 为复平面上的区域。若在 $D$ 内任意一条简单闭曲线，其内部仍全含于 $D$，则称 $D$ 为单连通区域；否则称为多连通区域。

2. 所含不止一个点的闭集 $E$，如果不能划分为两个无公共点的非空闭集，则称 $E$ 为连续点集。

   若区域 $D$ 的边界是互不相交的 $n$ 个连续点集，则称 $D$ 为 $n$ 连通区域。

1.3 复变函数

设 $E\subset\mathbb C$。对任意 $z\in E$，有唯一的 $w$ 与 $z$ 对应，则称在 $E$ 上确定了一个单值函数 $w=f(z)$（$z\in E$）。

若有多个 $w$ 与 $z$ 对应，则为多值函数。

$E$ 称为 $w=f(z)$ 的定义域，$w$ 值的全体所成集合 $M$ 称为 $w=f(z)$ 的值域。

例 1.25

下列是单值函数：$w=|z|$，$w=\overline z$，$w=z^2$，$w=\dfrac{z+1}{z-1}$（$z\neq 1$）。

下列是多值函数：$w=\sqrt[n]{z}$，$w=\ln z$，$w=\operatorname{Arg}z$（$z\neq 0$）。

设 $z=x+iy$，$w=u+iv$，则

$$w=u(x,y)+iv(x,y),$$

其中 $u(x,y)$ 与 $v(x,y)$ 是二元实函数。

若 $z=re^{i\theta}$，则 $w=P(r,\theta)+iQ(r,\theta)$。

$w=f(z)$ 给出从 $z$ 平面到 $w$ 平面的一个对应关系。$w=f(z)$ 称作 $z$ 的像点，$z$ 称作 $w$ 的原像。因此，像点与原像可能不止一个。

若

$$\forall z\in E, \quad \exists w\in F, \quad \text{s.t.}\quad w=f(z),$$

则称 $w=f(z)$ 把 $E$ 变入 $F$（即 $f(E)\subseteq F$），或称 $w=f(z)$ 是从 $E$ 到 $F$ 的变换。

若 $f(E)\subseteq F$，且

$$\forall w\in F, \quad \exists z\in E, \quad \text{s.t.}\quad w=f(z),$$

则称 $w=f(z)$ 把 $E$ 映成 $F$（即 $f(E)=F$），或称 $w=f(z)$ 是从 $E$ 到 $F$ 的满变换。

若 $w=f(z)$ 是从 $E$ 到 $F$ 的满变换，则

$$z=f^{-1}(w)$$

称为 $w=f(z)$ 的反函数或逆变换。

例 1.28

设 $w=z^2$，试问把 $z$ 平面上的下列曲线分别变为 $w$ 平面上的何种曲线？

1. $x^2+y^2=4$，其中 $x>0,y>0$；
2. $\theta=\dfrac\pi3$，即 $y=\sqrt3x$；
3. $x^2-y^2=4$。

解：设

$$z=x+iy=r(\cos\theta+i\sin\theta),$$ $$w=u+iv=R(\cos\varphi+i\sin\varphi).$$

于是

$$u=x^2-y^2, \qquad v=2xy, \qquad R=r^2, \qquad \varphi=2\theta.$$

1. $r=2$，则 $R=4$，$\varphi=2\theta\in(0,\pi)$，变为

   $$u^2+v^2=16, \qquad v>0.$$

2. $\varphi=2\theta=\dfrac{2\pi}{3}$，变为射线 $\varphi=\dfrac{2\pi}{3}$。

   $\arg z=\dfrac\pi3$ 与 $\arg z=\dfrac{4\pi}{3}$ 下的两条射线，均满足

   $$\arg w=\frac{2\pi}{3}, \qquad \arg w=\frac{8\pi}{3} =\frac{2\pi}{3}\pmod{2\pi}.$$
3. $$w=4+2xyi,$$

   因此 $u=4$，变为直线 $u=4$。

复变函数的极限

设 $f(z)$ 在 $E$ 上有定义，$z_0$ 为 $E$ 的聚点。若存在 $w_0\in\mathbb C$，使得

$$\forall\varepsilon>0, \quad \exists\delta>0, \quad 0<|z-z_0|<\delta, \quad z\in E,$$

都有

$$|f(z)-w_0|<\varepsilon,$$

则称 $f(z)$ 沿 $E$ 于 $z_0$ 有极限 $w_0$，并记为

$$\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in E}}f(z)=w_0.$$

注：

$$\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in E}}f(z)$$

与 $z$ 趋于 $z_0$ 的方式无关。

若

$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y), \qquad z_0=x_0+iy_0, \qquad w_0=u_0+iv_0,$$

则

$$\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in E}}f(z)=w_0$$

等价于

$$\begin{cases} \displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0,\\[8pt] \displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0. \end{cases}$$

$\mathbb C$ 上的极限就是 $\mathbb R^2$ 上向量值函数的极限。

其他性质同一元函数。

例 1.29

证明

$$f(z)=\frac{z}{\overline z}\quad(z\neq 0)$$

当 $z\to 0$ 时极限不存在。

证：令

$$z=x+iy, \qquad f(z)=u+iv.$$

则

$$u=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, \qquad v=\frac{2xy}{x^2+y^2}.$$

沿 $y=kx$，

$$\lim_{\substack{x\to 0\\y=kx}}v(x,y) =\lim_{x\to 0} \frac{2x\cdot kx}{x^2+(kx)^2} =\frac{2k}{1+k^2}.$$

因此

$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)$$

不存在，故

$$\lim_{z\to z_0}f(z)$$

不存在。

例 1.30

$$f(z)=\frac{1}{2i} \left( \frac{z}{\overline z}-\frac{\overline z}{z} \right), \qquad z\neq 0.$$

有

$$f(z)=\frac{1}{2i}\left(e^{2i\theta}-e^{-2i\theta}\right) =\sin 2\theta.$$

因此

$$\lim_{z\to 0}f(z)=\lim_{z\to 0}\sin 2\theta.$$

当 $\theta=0$ 时，

$$\lim_{z\to 0}f(z)=0.$$

当 $\theta=\dfrac\pi4$ 时，

$$\lim_{z\to 0}f(z)=1.$$

所以

$$\lim_{z\to 0}f(z)$$

不存在。

连续

若 $f(z)$ 在 $E$ 上各点均连续，则称 $f(z)$ 在 $E$ 上连续。

例 1.31

若

$$\lim_{z\to z_0}f(z)=\eta,$$

则 $f(z)$ 在点 $z_0$ 的某一去心邻域内有界。

例 1.32

设 $f(z)$ 在点 $z_0$ 连续，且 $f(z_0)\neq 0$。试证 $f(z)$ 在点 $z_0$ 的某一邻域内恒不为 $0$。

证：

$$\forall\varepsilon>0, \quad \exists\delta>0, \quad |z-z_0|<\delta,$$

使得

$$|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon.$$

取

$$\varepsilon=\frac12|f(z_0)|,$$

则

$$|f(z)|>|f(z_0)|-\varepsilon =\frac12|f(z_0)|>0.$$

因此 $f(z)$ 在 $N_\delta(z_0)$ 内恒不为 $0$。

定理：Bolzano–Weierstrass 定理

每一个有界无穷点集，至少有一个聚点。

定理：闭集套定理

设无穷闭集列 $\{F_n\}$ 至少一个为有界，且

$$\overline{F_n}\supseteq\overline{F_{n+1}}, \qquad \lim_{n\to\infty}d(\overline{F_n})=0,$$

则仅有唯一一点

$$z_0\in\overline{F_n}.$$

定理：Heine–Borel 覆盖定理

设有界闭集 $E$ 的每一点 $z$ 都是圆 $K_z$ 的圆心，则 $\{K_z\}$ 中必有有限个圆把 $E$ 覆盖住，即 $E$ 的每一点至少属于这有限个圆中的一个。

有界闭集 $E$ 上的连续函数 $f(z)$

1. 存在 $M>0$，使得

   $$|f(z)|\leq M.$$

2. 存在 $z_1,z_2\in E$，使得

   $$|f(z_2)|\leq |f(z)|\leq |f(z_1)|.$$

3. 对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得只要

   $$|z_1-z_2|<\delta,$$

   就有

   $$|f(z_1)-f(z_2)|<\varepsilon.$$

1.4 复球面与无穷远点

$O$：南极，$N$：北极。

$z$ 与复球面上的点 $P$ 相对应，因此“$\infty$”与复球面的 $N$ 点相对应。

$$\mathbb C_\infty=\mathbb C+\{\infty\},$$

称作扩充复平面。

无意义的运算： $\infty\pm\infty$，$0\cdot\infty$，$\dfrac{\infty}{\infty}$，$\dfrac00$。

$$\frac{\infty}{a}=\infty, \qquad \frac{a}{\infty}=0, \qquad \infty\pm a=a\pm\infty=\infty.$$ $$\infty\cdot b=b\infty=\infty, \qquad \frac b0=\infty, \qquad \infty\cdot\infty=\infty.$$

$\infty$ 无实部、虚部、$\arg$，且

$$|\infty|=+\infty.$$ $$N_\varepsilon(\infty)\longrightarrow \text{球盖}.$$

广义连续

对于

$$\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0),$$

若 $z_0$、$f(z_0)$ 之一或同时取 $\infty$，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 广义连续。

例如，对于 $z_0=\infty$ 且 $f(\infty)\neq\infty$ 时，

$$\lim_{z\to\infty}f(z)=f(\infty)$$

等价于：

$$\forall\varepsilon>0, \quad \exists\delta>0,$$

只要

$$|z|>\frac1\delta,$$

就有

$$|f(z)-f(\infty)|<\varepsilon.$$