2.2 初等解析函数

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1. 指数函数

复指数函数定义

$$\boxed{e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)}$$

性质：

1. ，
3. 在整个复平面上解析，且
4. 的基本周期为
5. 无意义，即极限不存在

简证　沿 且 时 ；沿 且 时 。

• 注

1. 若 ，则称 为 的周期。若 的所有周期都是 的整数倍，则称 为 的基本周期。
2. 因为 ，但 ，所以复变函数不满足数学分析中的 Rolle 定理，故微分中值定理也不能直接推广到复平面上。但L’Hospital 法则成立。
3. ，其中

2. 三角函数

定义

$$\boxed{\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$$

性质：

1. 、 均为解析函数
2. 、和差化积等公式在复平面上成立
3. 、 的基本周期均为 ；其零点分别为 ，，其中 。
4. 、 在复平面上无界

3. 正切、余切、正割与余割

、、、 在分母不为 的地方解析。

• 、 的基本周期为 。
• 、 的基本周期为 。

4. 双曲函数

定义

$$\boxed{\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2} \cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}}$$

、 均为解析函数，其周期为 。