2.2 初等解析函数

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1. 指数函数

复指数函数定义

$$\boxed{e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)}$$

性质：

1. $|e^z|=e^x>0$，$\arg e^z=y$
2. $e^z\neq0$
3. $e^z$ 在整个复平面上解析，且 $(e^z)’=e^z$
4. $e^z$ 的基本周期为 $2\pi i$
5. $\displaystyle\lim_{z\to\infty}e^z$ 无意义，即极限不存在

简证　沿 $y=0$ 且 $x\to+\infty$ 时 $e^z\to\infty$；沿 $y=0$ 且 $x\to-\infty$ 时 $e^z\to0$。

• 注

1. 若 $f(z+\omega)=f(z)$，则称 $\omega$ 为 $f(z)$ 的周期。若 $f(z)$ 的所有周期都是 $\omega$ 的整数倍，则称 $\omega$ 为 $f(z)$ 的基本周期。
2. 因为 $(e^z)’=e^z\neq0$，但 $e^z=e^{z+2k\pi i}$，所以复变函数不满足数学分析中的 Rolle 定理，故微分中值定理也不能直接推广到复平面上。但L’Hospital 法则成立。
3. $e^{z_1}=e^{z_2}\Longleftrightarrow z_1=z_2+2k\pi i$，其中 $k=0,\pm1,\pm2,\ldots$

2. 三角函数

定义

$$\boxed{\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$$

性质：

1. $\sin z$、$\cos z$ 均为解析函数
2. $\sin^2z+\cos^2z=1$ 、和差化积等公式在复平面上成立
3. $\sin z$、$\cos z$ 的基本周期均为 $2\pi$；其零点分别为 $\sin z=0\Longleftrightarrow z=n\pi$，$\cos z=0\Longleftrightarrow z=\dfrac\pi2+n\pi$，其中 $n\in\mathbb Z$。
4. $\sin z$、$\cos z$ 在复平面上无界

3. 正切、余切、正割与余割

$\tan z$、$\cot z$、$\sec z$、$\csc z$ 在分母不为 $0$ 的地方解析。

• $\tan z$、$\cot z$ 的基本周期为 $\pi$。
• $\sec z$、$\csc z$ 的基本周期为 $2\pi$。

4. 双曲函数

定义

$$\boxed{\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2} \cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}}$$

$\sinh z$、$\cosh z$ 均为解析函数，其周期为 $2\pi i$。