AbstractAlgebra_1.1

Abstract Algebra

第一章 群

近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。群是具有一个代数运算的代数系。群的理论是近代代数学的一个重要分支，它在物理学、化学、信息学等许多领域都有广泛的应用。

本章和第 2 章介绍群的初步理论。本章的 1.1 节讨论等价关系和集合的分类以及它们之间的联系。1.1 节的内容虽然不属于群论的范畴，但等价关系和集合的分类却是近代代数中经常出现的两个基本概念，所以先作一个介绍。1.2 节 ~1.4 节介绍群、子群、群同构的概念及有关性质。这是了解群的第一步。1.5 节和 1.6 节较为详细地讨论了两类最常见的群——循环群与置换群。学习这部分内容可以熟悉群的运算和性质，加深对群的理解。1.7 节是选学内容，介绍置换群的某些应用，初学时可以略去，并不影响后面的学习。

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1.1 等价关系与集合的分类

定义 1.1.1 设 $S$ 是一个非空集合，$\mathcal{R}$ 是关于 $S$ 的元素的一个条件。如果对 $S$ 中任意一个有序元素对 $(a,b)$，我们总能确定 $a$ 与 $b$ 是否满足条件 $\mathcal{R}$，就称 $\mathcal{R}$ 是 $S$ 的一个关系(relation)。如果 $a$ 与 $b$ 满足条件 $\mathcal{R}$，则称 $a$ 与 $b$ 有关系 $\mathcal{R}$，记作 $a\mathcal{R}b$；否则称 $a$ 与 $b$ 无关系 $\mathcal{R}$。关系 $\mathcal{R}$ 也称为二元关系。

例 1 设 $S$ 是一个非空集合，$S$ 的所有子集组成的集合记为 $\mathcal{P}(S)$。因为对 $S$ 的任意两个子集 $A, B$，$A \subseteq B$ 或 $A \nsubseteq B$ 有且仅有一个成立，所以集合的包含关系“$\subseteq$”是 $\mathcal{P}(S)$ 的一个关系。进一步讨论可以发现，这个关系还具有下面两条性质： 1. 反身性，即对 $S$ 的任一子集 $A$，有 $A \subseteq A$； 2. 传递性，即对 $S$ 的任意子集 $A, B, C$，如果 $A \subseteq B, B \subseteq C$，则有 $A \subseteq C$。

例 2 在整数集 $\mathbb{Z}$ 中，规定 $a \mathcal{R} b \iff a \mid b$。因为 $a \mid b$ 与 $a \nmid b$ 有且仅有一个成立，所以“$\mid$”是 $\mathbb{Z}$ 的一个关系。这个关系也具有反身性和传递性。

例 3 在整数集 $\mathbb{Z}$ 中，规定 $a \mathcal{R} b \iff (a, b) = 1$（即 $a$ 与 $b$ 互素）。因为 $(a, b) = 1$ 与 $(a, b) \neq 1$ 有且仅有一个成立，所以是 $\mathbb{Z}$ 的一个关系。这个关系既不满足反身性也不满足传递性，但却满足所谓的对称性，即对任意两个整数 $a, b$，由 $(a, b) = 1$ 可推出 $(b, a) = 1$。

同时具有反身性、对称性和传递性三条性质的关系是我们特别感兴趣的。

定义 1.1.2 设 $\mathcal{R}$ 是非空集合 $S$ 的一个关系，如果 $\mathcal{R}$ 满足

(E1) 反身性，即对任意的 $a \in S$，有 $a\mathcal{R}a$；

(E2) 对称性，即若 $a\mathcal{R}b$，则 $b\mathcal{R}a$；

(E3) 传递性，即若 $a\mathcal{R}b$，且 $b\mathcal{R}c$，则 $a\mathcal{R}c$，

则称 $\mathcal{R}$ 是 $S$ 的一个等价关系(equivalence relation)，并且如果 $a\mathcal{R}b$，则称 $a$ 等价于 $b$，记作 $a \sim b$。

定义 1.1.3 如果 $\sim$ 是集合 $S$ 的一个等价关系，对 $a \in S$，令 $[a] = \{x \in S \mid x \sim a\}.$ 称子集 $[a]$ 为 $S$ 的一个等价类(equivalence class)。$S$ 的全体等价类的集合称为集合 $S$ 在等价关系下的商集(quotient set)，记 $S/{\sim}$。

例 5 设 $m$ 是正整数，在整数集 $\mathbb{Z}$ 中，规定

$$a\mathcal{R}b \iff m \mid a - b, \quad \forall a, b \in \mathbb{Z},$$

则

1.对任意整数 $a$，有 $m \mid a - a$；

2.若 $m \mid a - b$，则 $m \mid b - a$；

3.若 $m \mid a - b$，$m \mid b - c$，则 $m \mid a - c$，

所以 $\mathcal{R}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的一个等价关系。显然 $a$ 与 $b$ 等价当且仅当 $a$ 与 $b$ 同余。

设 $a \in \mathbb{Z}$，则

$$[a] = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv a \pmod{m}\} \\ = \{x \in \mathbb{Z} \mid m \mid x - a\} \\ = \{a + mz \mid z \in \mathbb{Z}\},$$

$[a]$ 称为整数集 $\mathbb{Z}$ 的一个（与 $a$ 同余的）模 $m$ 剩余类，在数论中，$[a]$ 常记作 $\overline{a}$，而相应的商集称为 $\mathbb{Z}$ 的模 $m$ 剩余类集，记作 $\mathbb{Z}_m$。

由 $\overline{a} = \overline{b} \iff m \mid a - b,$

易得

$$\begin{aligned} \overline{0} &= \{\dots, -2m, -m, 0, m, 2m, \dots\}, \\ \overline{1} &= \{\dots, -2m + 1, -m + 1, 1, m + 1, 2m + 1, \dots\}, \\ &\quad\vdots \\ \overline{m-1} &= \{\dots, -2m - 1, -m - 1, -1, m - 1, 2m - 1, \dots\} \end{aligned}$$

是模 $m$ 的全体不同的剩余类，所以

$$\mathbb{Z}_m = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \dots, \overline{m-1}\}.$$

定义 1.1.4 如果非空集合 $S$ 是它的某些两两不相交的非空子集的并，则称这些子集为集合 $S$ 的一种分类(partition)，其中每个子集称为 $S$ 一个类(class)。如果 $S$ 的子集族 $\{S_i \mid i \in I\}$ 构成 $S$ 的一种分类，则记作 $\mathcal{P} = \{S_i \mid i \in I\}$。

由此定义可知，集合 $S$ 的子集族 $\{S_i \mid i \in I\}$ 构成 $S$ 的一种分类当且仅当

(P1) $S = \bigcup_{i \in I} S_i$；

(P2) $S_i \cap S_j = \varnothing, \quad i \neq j$。

(P1) 说明 $\{S_i\}$ 这些子集无遗漏地包含了 $S$ 的全部元素；(P2) 说明两个不同的子集无公共元素。从而 $S$ 的元素属于且仅属于一个子集。这表明，$S$ 的一个分类必须满足不漏不重的原则。

例 6 设 $M$ 为数域 $F$ 上全体 $n$ 阶方阵的集合，令 $M_r$ 表示所有秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵构成的子集，则有

1.$M = \bigcup_{i=0}^{n} M_i$；

2.$M_i \cap M_j = \varnothing, i \neq j$。

所以 $\{M_i \mid i = 0, 1, \dots, n\}$ 是 $M$ 的一种分类。

例 7 $\mathbb{Z}_m = \{\overline{a} \mid a = 0, 1, 2, \dots, m-1\}$ 是整数集 $\mathbb{Z}$ 的一种分类。

例 8 对实数集 $\mathbb{R}$，令子集 $\mathbb{R}_i = [i, i+1], i \in \mathbb{Z}$。由于 $i \in \mathbb{R}_i$，且 $i \in \mathbb{R}_{i-1}$，同一元素在两个子集中重复出现，所以 $\{[i, i+1] \mid i \in \mathbb{Z}\}$ 不是 $\mathbb{R}$ 的一种分类。

定理 1.1.1 集合 $S$ 的任何一个等价关系都确定了 $S$ 的一种分类，且其中每一个类都是集合 $S$ 的一个等价类。反之，集合 $S$ 的任何一种分类也都给出了集合 $S$ 的一个等价关系，且相应的等价类就是原分类中的那些类。

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证明 首先，设 $\sim$ 为集合 $S$ 的一个等价关系，则

1.对任意的 $a \in S$，由反身性知 $a \in [a]$，所以 $S = \bigcup_{a \in S} [a]$。

2.如果 $[a] \cap [b] \neq \varnothing$，则有 $c \in [a] \cap [b]$。于是 $c \sim b$，$c \sim a$，从而由对称性知 $b \sim c$，再由传递性知 $b \sim a$。又对任意的 $b’ \in [b]$，则 $b’ \sim b$，同样由传递性得 $b’ \sim a$。于是 $b’ \in [a]$，因此 $[b] \subseteq [a]$。同理可证 $[a] \subseteq [b]$。于是 $[a] = [b]$。所以不同的类没有公共元素。

从而由 (P1), (P2) 知，全体等价类形成 $S$ 的一种分类，显然每一个类都是 $S$ 的等价类。

其次，如果已知集合 $S$ 的一种分类 $\mathcal{P}$，在 $S$ 中规定关系 “$\sim$”：

$$a \sim b \iff a \text{ 与 } b \text{ 属于同一类}, \quad a, b \in S.$$

对任意的 $a \in S$，由于 $a$ 属于其本身所在的类，所以 $a \sim a$。如果 $a \sim b$，即 $a$ 与 $b$ 属于同一类，自然 $b$ 与 $a$ 也属于同一类，所以 $b \sim a$。最后，如果 $a \sim b$，$b \sim c$，即 $a$ 与 $b$ 属于同一类，$b$ 与 $c$ 属于同一类，因而 $a$ 与 $c$ 同在 $b$ 所在的类中，所以 $a \sim c$。 因此 “$\sim$” 是 $S$ 的一个等价关系。显然，由此等价关系得到的等价类就是原分类中的那些类。

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定理 1.1.1 说明，一个集合的分类可以通过等价关系来描述。试比较例 4、例 5 及例 6、例 7，可以看出，这样做在很多情况下是方便的。另一方面，等价关系也可以用集合的分类来表示。通过对集合的各种分类的了解，使我们能够对集合的不同等价关系及其相互联系进行研究。不过，本书不准备对此进行深入的讨论。仅以下面的例子来说明集合的分类对研究集合的等价关系的作用。

例 9 设 $S = \{a, b, c\}$，试确定集合 $S$ 的全部等价关系。

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解 由定理 1.1.1 知，只要求出 $S$ 的全部分类，即求出 $S$ 的所有可能的子集分划即可。

1.如果 $S$ 仅分划为一个子集，则有 $\mathcal{P}_1 = \{S\}$；

2.如果 $S$ 分划为两个子集，则有 $\mathcal{P}_2 = \{\{a\}, \{b, c\}\}, \quad \mathcal{P}_3 = \{\{b\}, \{a, c\}\}, \quad \mathcal{P}_4 = \{\{c\}, \{a, b\}\};$

3.如果 $S$ 分划为三个子集，则有 $\mathcal{P}_5 = \{\{a\}, \{b\}, \{c\}\}$。 因此，集合 $S$ 共有五个不同的等价关系，它们是

$$\begin{aligned} \sim_1 &= \{a \sim a, b \sim b, c \sim c, a \sim b, b \sim a, a \sim c, c \sim a, b \sim c, c \sim b\}; \\ \sim_2 &= \{a \sim a, b \sim b, c \sim c, b \sim c, c \sim b\}; \\ \sim_3 &= \{a \sim a, b \sim b, c \sim c, a \sim c, c \sim a\}; \\ \sim_4 &= \{a \sim a, b \sim b, c \sim c, a \sim b, b \sim a\}; \\ \sim_5 &= \{a \sim a, b \sim b, c \sim c\}. \end{aligned}$$

注 如果用 $B(n)$ 表示一个具有 $n$ 个元素的集合上的不同等价关系的个数，则有下列的递推公式： $B(n+1) = \sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_n^k B(k), \quad n \geqslant 1, \tag{1.1.1}$

其中 $\mathrm{C}_n^k$ 为二项式系数，并规定 $B(0) = 1$, $B(1) = 1$。