AbstractAlgebra_1.1

Abstract Algebra

第一章 群

近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。群是具有一个代数运算的代数系。群的理论是近代代数学的一个重要分支，它在物理学、化学、信息学等许多领域都有广泛的应用。

本章和第 2 章介绍群的初步理论。本章的 1.1 节讨论等价关系和集合的分类以及它们之间的联系。1.1 节的内容虽然不属于群论的范畴，但等价关系和集合的分类却是近代代数中经常出现的两个基本概念，所以先作一个介绍。1.2 节 ~1.4 节介绍群、子群、群同构的概念及有关性质。这是了解群的第一步。1.5 节和 1.6 节较为详细地讨论了两类最常见的群——循环群与置换群。学习这部分内容可以熟悉群的运算和性质，加深对群的理解。1.7 节是选学内容，介绍置换群的某些应用，初学时可以略去，并不影响后面的学习。

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1.1 等价关系与集合的分类

定义 1.1.1 设 是一个非空集合， 是关于 的元素的一个条件。如果对 中任意一个有序元素对 ，我们总能确定 与 是否满足条件 ，就称 是 的一个关系(relation)。如果 与 满足条件 ，则称 与 有关系 ，记作 ；否则称 与 无关系 。关系 也称为二元关系。

例 1 设 是一个非空集合， 的所有子集组成的集合记为 。因为对 的任意两个子集 ， 或 有且仅有一个成立，所以集合的包含关系“”是 的一个关系。进一步讨论可以发现，这个关系还具有下面两条性质： 1. 反身性，即对 的任一子集 ，有 ； 2. 传递性，即对 的任意子集 ，如果 ，则有 。

例 2 在整数集 中，规定 。因为 与 有且仅有一个成立，所以“”是 的一个关系。这个关系也具有反身性和传递性。

例 3 在整数集 中，规定 （即 与 互素）。因为 与 有且仅有一个成立，所以是 的一个关系。这个关系既不满足反身性也不满足传递性，但却满足所谓的对称性，即对任意两个整数 ，由 可推出 。

同时具有反身性、对称性和传递性三条性质的关系是我们特别感兴趣的。

定义 1.1.2 设 是非空集合 的一个关系，如果 满足

(E1) 反身性，即对任意的 ，有 ；

(E2) 对称性，即若 ，则 ；

(E3) 传递性，即若 ，且 ，则 ，

则称 是 的一个等价关系(equivalence relation)，并且如果 ，则称 等价于 ，记作 。

定义 1.1.3 如果 是集合 的一个等价关系，对 ，令 $[a] = \{x \in S \mid x \sim a\}.$ 称子集 为 的一个等价类(equivalence class)。 的全体等价类的集合称为集合 在等价关系下的商集(quotient set)，记 。

例 5 设 是正整数，在整数集 中，规定

$$a\mathcal{R}b \iff m \mid a - b, \quad \forall a, b \in \mathbb{Z},$$

则

1.对任意整数 ，有 ；

2.若 ，则 ；

3.若 ，，则 ，

所以 是 的一个等价关系。显然 与 等价当且仅当 与 同余。

设 ，则

$$[a] = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv a \pmod{m}\} \\ = \{x \in \mathbb{Z} \mid m \mid x - a\} \\ = \{a + mz \mid z \in \mathbb{Z}\},$$

称为整数集 的一个（与 同余的）模 剩余类，在数论中， 常记作 ，而相应的商集称为 的模 剩余类集，记作 。

由 $\overline{a} = \overline{b} \iff m \mid a - b,$

易得

$$\begin{aligned} \overline{0} &= \{\dots, -2m, -m, 0, m, 2m, \dots\}, \\ \overline{1} &= \{\dots, -2m + 1, -m + 1, 1, m + 1, 2m + 1, \dots\}, \\ &\quad\vdots \\ \overline{m-1} &= \{\dots, -2m - 1, -m - 1, -1, m - 1, 2m - 1, \dots\} \end{aligned}$$

是模 的全体不同的剩余类，所以

$$\mathbb{Z}_m = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \dots, \overline{m-1}\}.$$

定义 1.1.4 如果非空集合 是它的某些两两不相交的非空子集的并，则称这些子集为集合 的一种分类(partition)，其中每个子集称为 一个类(class)。如果 的子集族 构成 的一种分类，则记作 。

由此定义可知，集合 的子集族 构成 的一种分类当且仅当

(P1) ；

(P2) 。

(P1) 说明 这些子集无遗漏地包含了 的全部元素；(P2) 说明两个不同的子集无公共元素。从而 的元素属于且仅属于一个子集。这表明， 的一个分类必须满足不漏不重的原则。

例 6 设 为数域 上全体 阶方阵的集合，令 表示所有秩为 的 阶方阵构成的子集，则有

1.；

2.。

所以 是 的一种分类。

例 7 是整数集 的一种分类。

例 8 对实数集 ，令子集 。由于 ，且 ，同一元素在两个子集中重复出现，所以 不是 的一种分类。

定理 1.1.1 集合 的任何一个等价关系都确定了 的一种分类，且其中每一个类都是集合 的一个等价类。反之，集合 的任何一种分类也都给出了集合 的一个等价关系，且相应的等价类就是原分类中的那些类。

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证明 首先，设 为集合 的一个等价关系，则

1.对任意的 ，由反身性知 ，所以 。

2.如果 ，则有 。于是 ，，从而由对称性知 ，再由传递性知 。又对任意的 ，则 ，同样由传递性得 。于是 ，因此 。同理可证 。于是 。所以不同的类没有公共元素。

从而由 (P1), (P2) 知，全体等价类形成 的一种分类，显然每一个类都是 的等价类。

其次，如果已知集合 的一种分类 ，在 中规定关系 “”：

$$a \sim b \iff a \text{ 与 } b \text{ 属于同一类}, \quad a, b \in S.$$

对任意的 ，由于 属于其本身所在的类，所以 。如果 ，即 与 属于同一类，自然 与 也属于同一类，所以 。最后，如果 ，，即 与 属于同一类， 与 属于同一类，因而 与 同在 所在的类中，所以 。 因此 “” 是 的一个等价关系。显然，由此等价关系得到的等价类就是原分类中的那些类。

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定理 1.1.1 说明，一个集合的分类可以通过等价关系来描述。试比较例 4、例 5 及例 6、例 7，可以看出，这样做在很多情况下是方便的。另一方面，等价关系也可以用集合的分类来表示。通过对集合的各种分类的了解，使我们能够对集合的不同等价关系及其相互联系进行研究。不过，本书不准备对此进行深入的讨论。仅以下面的例子来说明集合的分类对研究集合的等价关系的作用。

例 9 设 ，试确定集合 的全部等价关系。

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解 由定理 1.1.1 知，只要求出 的全部分类，即求出 的所有可能的子集分划即可。

1.如果 仅分划为一个子集，则有 ；

2.如果 分划为两个子集，则有 $\mathcal{P}_2 = \{\{a\}, \{b, c\}\}, \quad \mathcal{P}_3 = \{\{b\}, \{a, c\}\}, \quad \mathcal{P}_4 = \{\{c\}, \{a, b\}\};$

3.如果 分划为三个子集，则有 。 因此，集合 共有五个不同的等价关系，它们是

$$\begin{aligned} \sim_1 &= \{a \sim a, b \sim b, c \sim c, a \sim b, b \sim a, a \sim c, c \sim a, b \sim c, c \sim b\}; \\ \sim_2 &= \{a \sim a, b \sim b, c \sim c, b \sim c, c \sim b\}; \\ \sim_3 &= \{a \sim a, b \sim b, c \sim c, a \sim c, c \sim a\}; \\ \sim_4 &= \{a \sim a, b \sim b, c \sim c, a \sim b, b \sim a\}; \\ \sim_5 &= \{a \sim a, b \sim b, c \sim c\}. \end{aligned}$$

注 如果用 表示一个具有 个元素的集合上的不同等价关系的个数，则有下列的递推公式： $B(n+1) = \sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_n^k B(k), \quad n \geqslant 1, \tag{1.1.1}$

其中 为二项式系数，并规定 , 。