AbstractAlgebra_1.2

Abstract Algebra

第一章 群

近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。群是具有一个代数运算的代数系。群的理论是近代代数学的一个重要分支，它在物理学、化学、信息学等许多领域都有广泛的应用。

本章和第 2 章介绍群的初步理论。本章的 1.1 节讨论等价关系和集合的分类以及它们之间的联系。1.1 节的内容虽然不属于群论的范畴，但等价关系和集合的分类却是近代代数中经常出现的两个基本概念，所以先作一个介绍。1.2 节 ~1.4 节介绍群、子群、群同构的概念及有关性质。这是了解群的第一步。1.5 节和 1.6 节较为详细地讨论了两类最常见的群——循环群与置换群。学习这部分内容可以熟悉群的运算和性质，加深对群的理解。1.7 节是选学内容，介绍置换群的某些应用，初学时可以略去，并不影响后面的学习。

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1.2 群的概念

代数最初主要研究的是数，以及由数所衍生出来的对象。例如，代数方程的求根。初等代数主要研究的就是数以及数的运算。中学数学虽有所谓代数式的概念，但这些概念本质上代表的仍然是数。高等代数虽引入了行列式、矩阵等概念，但还是离不开数。数的一个基本特征是可以进行加法、乘法等运算。这些运算的共同特点是对任意两个数，通过某个法则（如加法法则或乘法法则等），可唯一求得第三个数。数学家们发现，许多抽象的对象也都具有类似于数的这一特征，于是对它们的结构和性质进行了研究，并且应用它们解决了许多重大的数学问题和实际问题。这就导致了近世代数的产生和发展。近世代数拓展了代数的研究领域，它所研究的已不再仅仅是数，而是具有某种运算的代数系统，这其中最基本的就是群、环和域。

本节的主要目的就是介绍群的基本概念和简单性质。为此，首先要对运算这一概念给出明确的定义。

定义 1.2.1 设 $A$ 是一个非空集合，若对 $A$ 中任意两个元素 $a, b$，通过某个法则“·”，有 $A$ 中唯一确定的元素 $c$ 与之对应，则称法则“·”为集合 $A$ 上的一个代数运算 (algebraic operation)。元素 $c$ 是 $a, b$ 通过运算“·”作用的结果，将此结果记为 $a \cdot b = c$。

例 1 注意，除法不是$\mathbb{Q}$上的代数运算。但是，除法是$\mathbb{Q^*}$上的代数运算。

例 2 设 $m$ 为大于 1 的正整数，$\mathbb{Z}_m$ 为 $\mathbb{Z}$ 的模 $m$ 剩余类集。对 $\bar{a}, \bar{b} \in \mathbb{Z}_m$，规定

$$\bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b}, \\ \bar{a} \cdot \bar{b} = \overline{ab},$$

则 $+$ 与 $\cdot$ 都是 $\mathbb{Z}_m$ 上的代数运算。

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证明 只要证明上面规定的运算与剩余类的代表元的选取无关即可。设

$$\bar{a} = \bar{a}', \quad \bar{b} = \bar{b}',$$

则

$$m \mid a - a', \quad m \mid b - b',$$

于是

$$m \mid (a - a') + (b - b') = (a + b) - (a' + b'), \\ m \mid (a - a')b + (b - b')a' = (ab) - (a'b'), \\$$

从而

$$\overline{a+b} = \overline{a'+b'}, \quad \overline{ab} = \overline{a'b'}$$

所以“$+$”与“$\cdot$”都是 $\mathbb{Z}_m$ 上的代数运算。

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定义 1.2.2 设 $G$ 是一个非空集合，“·”是 $G$ 上的一个代数运算，即对所有的 $a, b \in G$，有 $a \cdot b \in G$。如果 $G$ 的运算还满足：

(G1) 结合律：对所有的 $a, b, c \in G$，有 $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$；

(G2) $G$ 中有元素 $e$，使对每个 $a \in G$，有 $e \cdot a = a \cdot e = a$；

(G3) 对 $G$ 中每个元素 $a$，存在元素 $b \in G$，使 $a \cdot b = b \cdot a = e$，

则称 $G$ 关于运算“·”构成一个群 (group)，记作 $(G, \cdot)$。在不致引起混淆的情况下，也称 $G$ 为群。

注

(1) (G2) 中的元素 $e$ 称为群 $G$ 的单位元 (unit element) 或恒等元 (identity)；(G3) 中的元素 $b$ 称为 $a$ 的逆元 (inverse)。我们将证明，群 $G$ 的单位元 $e$ 和每个元素的逆元都是唯一的。$G$ 中元素 $a$ 的唯一的逆元通常记作 $a^{-1}$。

(2) 如果群 $G$ 的运算还满足交换律，即对任意的 $a, b \in G$，有 $a \cdot b = b \cdot a$，则称 $G$ 是一个交换群 (commutative group) 或阿贝尔群 (Abelian group)。

(3) 群 $G$ 中元素的个数称为群 $G$ 的阶 (order)，记为 $|G|$。如果 $|G|$ 是有限数，则称 $G$ 为有限群 (finite group)，否则称 $G$ 为无限群 (infinite group)。

例 3 整数集 $\mathbb{Z}$ 关于数的加法构成群。这个群称为整数加群。

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证明 对任意的 $a, b \in \mathbb{Z}$，有 $a + b \in \mathbb{Z}$，所以“$+$”是 $\mathbb{Z}$ 上的一个代数运算。同时，对任意的 $a, b, c \in \mathbb{Z}$，有

$$(a + b) + c = a + (b + c),$$

所以结合律成立。另一方面，$0 \in \mathbb{Z}$，且对每个 $a \in \mathbb{Z}$，有

$$a + 0 = 0 + a = a,$$

所以 $0$ 为 $\mathbb{Z}$ 的单位元。又对每个 $a \in \mathbb{Z}$，有

$$a + (-a) = (-a) + a = 0,$$

所以 $-a$ 是 $a$ 的逆元，从而 $\mathbb{Z}$ 关于“$+$”构成群，显然这是一个交换群。

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当群 $G$ 的运算用加号“$+$”表示时，通常将 $G$ 的单位元记作 $0$，并称 $0$ 为 $G$ 的零元；将 $a \in G$ 的逆元记作 $-a$，并称 $-a$ 为 $a$ 的负元。习惯上，只有当群为交换群时，才用“$+$”来表示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的结果叫做和，同时称这样的群为加群。相应地，将不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法，运算的结果叫做积。在运算过程中，乘群的运算符号通常省略不写。今后，如不作特别声明，总假定群的运算是乘法。当然，所有关于乘群的结论对加群也成立（必要时作一些相关的记号和术语上的改变）。

例 5 实数域 $\mathbb{R}$ 上全体 $n$ 阶方阵的集合 $M_n(\mathbb{R})$，关于矩阵的加法构成一个交换群。全体 $n$ 阶可逆方阵的集合 $GL_n(\mathbb{R})$ 关于矩阵的乘法构成群，群 $GL_n(\mathbb{R})$ 中的单位元是单位矩阵 $E_n$，可逆方阵 $A \in GL_n(\mathbb{R})$ 的逆元是 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$。当 $n > 1$ 时，$GL_n(\mathbb{R})$ 是一个非交换群。

例 6 集合 $\{1, -1, \mathrm{i}, -\mathrm{i}\}$ 关于数的乘法构成交换群。

上述结论是显然的。

例 7 全体 $n$ 次单位根组成的集合

$$U_n = \{x \in \mathbb{C} \mid x^n = 1\} \\ = \left\{\cos\frac{2k\pi}{n} + \mathrm{i}\sin\frac{2k\pi}{n} \mid k = 0, 1, 2, \dots, n-1\right\}$$

关于数的乘法构成一个 $n$ 阶交换群。

事实上，对任意的 $x, y \in U_n$，因为 $x^n = 1, y^n = 1$，所以

$$(xy)^n = x^n y^n = 1 \cdot 1 = 1,$$

因此 $xy \in U_n$。因为数的乘法满足交换律和结合律，所以 $U_n$ 的乘法也满足交换律和结合律。

由于 $1 \in U_n$，且对任意的 $x \in U_n, 1 \cdot x = x \cdot 1 = x$，所以 $1$ 为 $U_n$ 的单位元。又由于对任意的 $x \in U_n, x^{n-1} \in U_n$ 且

$$x \cdot x^{n-1} = x^{n-1} \cdot x = x^n = 1,$$

所以 $x$ 有逆元 $x^{n-1}$。因此，$U_n$ 关于数的乘法构成一个群。通常称这个群为 $n$ 次单位根群。显然$U_n$是一个具有n个元素的交换群。

例 8 设 $m$ 是大于 1 的正整数，则 $\mathbb{Z}_m$ 关于剩余类的加法构成加群。这个群称为 $\mathbb{Z}$ 的模 $m$ 剩余类加群。

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证明 由例 2 知，剩余类的加法“$+$”是 $\mathbb{Z}_m$ 的代数运算。

(1) 对任意的 $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} \in \mathbb{Z}_m$，

$$(\bar{a} + \bar{b}) + \bar{c} = \overline{a + b} + \bar{c} = \overline{(a + b) + c} \\ = \overline{a + (b + c)} = \bar{a} + \overline{b + c} \\ = \bar{a} + (\bar{b} + \bar{c}),$$

所以结合律成立。

(2) 对任意的 $\bar{a}, \bar{b} \in \mathbb{Z}_m$，

$$\bar{a} + \bar{b} = \overline{a + b} = \overline{b + a} = \bar{b} + \bar{a},$$

所以交换律成立。

(3) 对任意的 $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$，

$$\bar{a} + \bar{0} = \overline{a + 0} = \bar{a}, \\ \bar{0} + \bar{a} = \overline{0 + a} = \bar{a}.$$

所以 $\bar{0}$ 为 $\mathbb{Z}_m$ 的零元。

(4) 对任意的 $\bar{a} \in \mathbb{Z}_m$，

$$\bar{a} + \overline{-a} = \overline{a + (-a)} = \bar{0}, \\ \overline{-a} + \bar{a} = \overline{(-a) + a} = \bar{0}.$$

所以 $\overline{-a}$ 为 $\bar{a}$ 的负元。

从而知，$\mathbb{Z}_m$ 关于剩余类的加法构成加群。

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当 $m > 1$ 时，$\mathbb{Z}_m$ 关于剩余类的乘法不构成群。下面的例子说明，$\mathbb{Z}_m$ 的部分元素关于剩余类的乘法是可以构成群的。

例 9 设 $m$ 是大于 1 的正整数，记

$$U(m) = \{\bar{a} \in \mathbb{Z}_m \mid (a, m) = 1\},$$

则 $U(m)$ 关于剩余类的乘法构成群。

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证明 (1) 对任意的 $\bar{a}, \bar{b} \in U(m)$，有 $(a, m) = 1$, $(b, m) = 1$，于是 $(ab, m) = 1$，从而 $\overline{ab} \in U(m)$。所以剩余类的乘法“·”是 $U(m)$ 的代数运算。

(2) 对任意的 $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} \in U(m)$，

$$(\bar{a} \cdot \bar{b}) \cdot \bar{c} = \overline{ab} \cdot \bar{c} = \overline{(ab)c} = \overline{a(bc)} \\ = \bar{a} \cdot \overline{bc} = \bar{a} \cdot (\bar{b} \cdot \bar{c}).$$

所以结合律成立。

(3) 因为 $(1, m) = 1$，从而 $\bar{1} \in U(m)$，且对任意的 $\bar{a} \in U(m)$，

$$\bar{a} \cdot \bar{1} = \overline{a \cdot 1} = \bar{a}, \\ \bar{1} \cdot \bar{a} = \overline{1 \cdot a} = \bar{a},$$

所以 $\bar{1}$ 为 $U(m)$ 的单位元。

(4) 对任意的 $\bar{a} \in U(m)$，有 $(a, m) = 1$。由整数的性质可知，存在 $u, v \in \mathbb{Z}$，使

$$au + mv = 1.$$

显然 $(u, m) = 1$，所以 $\bar{u} \in U(m)$，且

$$\bar{a} \cdot \bar{u} = \overline{au} \\ = \overline{au + mv} \quad (\text{因为 } m \mid mv = (au + mv) - au) \\ = \bar{1}, \\ \bar{u} \cdot \bar{a} = \overline{ua} = \overline{au} = \bar{1},$$

所以 $\bar{u}$ 为 $\bar{a}$ 的逆元。从而知，$U(m)$ 的每个元素在 $U(m)$ 中都可逆。

这就证明了，$U(m)$ 关于剩余类的乘法构成群。

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群$(U(m), \cdot)$ 称为 $\mathbb{Z}$ 的模 $m$ 单位群，显然这是一个交换群。当 $p$ 为素数时，$U(p)$ 常记作 $\mathbb{Z}_p^*$。易知

$$\mathbb{Z}_p^* = \{\bar{1}, \bar{2}, \dots, \overline{p-1}\}.$$

注 (4) 由初等数论可知，$U(m)$ 的阶等于 $\phi(m)$，这里 $\phi(m)$ 是欧拉函数。如果

$$m = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_s^{r_s},$$

其中 $p_1, p_2, \dots, p_s$ 为 $m$ 的不同素因子，那么

$$\phi(m) = (p_1^{r_1} - p_1^{r_1-1})(p_2^{r_2} - p_2^{r_2-1}) \cdots (p_s^{r_s} - p_s^{r_s-1}) \\ = m \prod_{i=1}^{s} \left(1 - \frac{1}{p_i}\right).$$

例 10 具体写出 $\mathbb{Z}_5^*$ 中任意两个元素的乘积以及每一个元素的逆元素。易知

$$\mathbb{Z}_5^* = \{\bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}\}.$$

直接计算，可得

表 1.2.1

$1 \cdot 1 = 1$	$1 \cdot 2 = 2$	$1 \cdot 3 = 3$	$1 \cdot 4 = 4$
$2 \cdot 1 = 2$	$2 \cdot 2 = 4$	$2 \cdot 3 = 1$	$2 \cdot 4 = 3$
$3 \cdot 1 = 3$	$3 \cdot 2 = 1$	$3 \cdot 3 = 4$	$3 \cdot 4 = 2$
$4 \cdot 1 = 4$	$4 \cdot 2 = 3$	$4 \cdot 3 = 2$	$4 \cdot 4 = 1$

在表 1.2.1 中，我们把 $\bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}$ 简记为 $1, 2, 3, 4$。这在进行 $\mathbb{Z}_m$ 中的运算时是经常这样做的。由表中很容易看出：

$$\bar{1}^{-1} = \bar{1}, \quad \bar{2}^{-1} = \bar{3}, \quad \bar{3}^{-1} = \bar{2}, \quad \bar{4}^{-1} = \bar{4}.$$

观察表 1.2.1，发现可以把表 1.2.1 表示为更加简单的形式（表 1.2.2）。

表 1.2.2

	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

形如表 1.2.2 的表通常称为群的乘法表 (multiplication table)，也称群表 (group table) 或凯莱表 (Cayley table)。人们常用群表来表示有限群的运算。一般的群表如表 1.2.3所示。

表 1.2.3

$\circ$	$e$	…	$b$	…
$e$	$e$	…	$b$	…
…	…	…	…	…
$a$	$a$	…	$a \circ b$	…
…	…	…	…	…

在一个群表中，表的左上角列出了群的运算符号（有时省略），表的最上面一行则依次列出群的所有元素（通常单位元列在最前面），表的最左列按同样的次序列出群的所有元素。表中的其余部分则是最左列的元素和最上面一行的元素的乘积。注意，在乘积 $a \circ b$ 中，左边的因子 $a$ 是左列上的元素，右边的因子 $b$ 是最上面一行的元素。由群表很容易确定一个元素的逆元素。又如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，这个群一定是交换群。

定理 1.2.1 设 $G$ 为群，则有

(1) 群 $G$ 的单位元是唯一的；

(2) 群 $G$ 的每个元素的逆元是唯一的；

(3) 对任意的 $a \in G$，有 $(a^{-1})^{-1} = a$；

(4) 对任意的 $a, b \in G$，有 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$；

(5) 在群中消去律成立，即设 $a, b, c \in G$，如果 $ab = ac$，或 $ba = ca$，则 $b = c$。

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证明

(1) 如果 $e_1, e_2$ 都是 $G$ 的单位元，则

$$e_1 \cdot e_2 = e_2, \quad (\text{因为 } e_1 \text{ 是 } G \text{ 的单位元}) \\ e_1 \cdot e_2 = e_1, \quad (\text{因为 } e_2 \text{ 是 } G \text{ 的单位元})$$

因此，

$$e_2 = e_1 \cdot e_2 = e_1,$$

所以单位元是唯一的。

(2) 设 $b, c$ 都是 $a \in G$ 的逆元，则

$$ab = ba = e, \quad ac = ca = e,$$

于是

$$c = c \cdot e = c(ab) = (ca)b = e \cdot b = b,$$

所以 $a$ 的逆元是唯一的。

(3) 因为 $a^{-1}$ 是 $a$ 的逆元，所以

$$a^{-1}a = aa^{-1} = e.$$

从而由逆元的定义知，$a$ 是 $a^{-1}$ 的逆元。又由逆元的唯一性得

$$(a^{-1})^{-1} = a.$$

(4) 直接计算可得

$$(ab) \cdot (b^{-1}a^{-1}) = a(bb^{-1})a^{-1} = aea^{-1} = aa^{-1} = e$$

及

$$(b^{-1}a^{-1}) \cdot (ab) = b^{-1}(a^{-1}a)b = b^{-1}eb = b^{-1}b = e,$$

从而由逆元的唯一性得

$$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}.$$

(5) 如果 $ab = ac$，则

$$b = eb = (a^{-1}a)b = a^{-1}(ab) = a^{-1}(ac) = (a^{-1}a)c = ec = c,$$

同理可证另一消去律。

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定理 1.2.2 设 $G$ 是群，那么对任意的 $a, b \in G$，方程

$$ax = b \quad \text{及} \quad ya = b$$

在 $G$ 中都有唯一解。

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证明 取 $x = a^{-1}b$，则

$$a(a^{-1}b) = (aa^{-1})b = eb = b,$$

所以方程 $ax = b$ 有解 $x = a^{-1}b$。

又如，$x = c$ 为方程 $ax = b$ 的任一解，即 $ac = b$，则

$$c = ec = (a^{-1}a)c = a^{-1}(ac) = a^{-1}b,$$

这就证明了唯一性。

同理可证另一个方程也有唯一解。

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群的定义中的结合律表明，群中三个元素 $a, b, c$ 的乘积与运算的顺序无关，因此可以简单地写成：$abc$。进一步可知，在群 $G$ 中，任意 $k$ 个元素 $a_1, a_2, \dots, a_k$ 的乘积与运算的顺序无关，因此可以写成 $a_1a_2 \cdots a_k$。

据此，可以定义群的元素的方幂： 对任意的正整数 $n$，定义

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{个} a},$$

再约定

$$a^0 = e, \\ a^{-n} = (a^{-1})^n \quad (n \text{ 为正整数}),$$

则 $a^n$ 对任意整数 $n$ 都有意义，并且不难证明，对任意的 $a \in G, m, n \in \mathbb{Z}$，有下列的指数法则：

(1) $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$;

(2) $(a^n)^m = a^{nm}$;

(3) 如果 $G$ 是交换群，则 $(ab)^n = a^nb^n$.

注意，如果群 $G$ 不是交换群，则

$$(ab)^n = a^nb^n$$

一般是不成立的。

当 $G$ 是加群时，元素的方幂则应改写为倍数

$$na = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{n \text{个} a}, \\ 0a = 0, \\ (-n)a = n(-a).$$

相应地，指数法则变为倍数法则，

(1) $na + ma = (n + m)a$;

(2) $m(na) = (mn)a$;

(3) $n(a + b) = na + nb$.

因为加群是交换群，所以 (3) 总是成立的。

下面两个定理给出了判别一个非空集合关于所给的运算是否构成群的另一途径。

定理 1.2.3 设 $G$ 是一个具有代数运算的非空集合，则 $G$ 关于所给的运算构成群的充分必要条件是 (1) $G$ 的运算满足结合律； (2) $G$ 中有一个元素 $e$（称为 $G$ 的左单位元），使对任意的 $a \in G$，有 $ea = a$； (3) 对 $G$ 的每一个元素 $a$，存在元素 $a’ \in G$（称为 $a$ 的左逆元），使 $a’a = e$，这里 $e$ 是 $G$ 的左单位元。

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证明 必要性. 由群的定义，这是显然的。

充分性. 只需证：$e$ 是 $G$ 的单位元，$a’$ 是 $a$ 的逆元即可。

设 $a \in G$，由 (3) 知，存在 $a’ \in G$，使

$$a'a = e.$$

又由 (3) 知，存在 $a’’ \in G$，使

$$a''a' = e.$$

于是

$$aa' = e(aa') = (a''a')(aa') = a''(a'a)a' = a''(ea') = a''a' = e,$$

且

$$ae = a(a'a) = (aa')a = e \cdot a = a.$$

又联系到条件 (2) 和 (3) 知，$e$ 是 $G$ 的单位元，$a’$ 是 $a$ 的逆元。进而再由条件 (1) 知，$G$ 为群。

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定理 1.2.3 说明，一个具有乘法运算的非空集合 $G$，只要满足结合律，有左单位元，每个元素有左逆元，就构成一个群。 同理可证，一个具有乘法运算的非空集合 $G$，如果满足结合律，有右单位元，且 $G$ 中每个元素有右逆元，则 $G$ 也构成群（见本节习题 15）。

定理 1.2.4 设 $G$ 是一个具有乘法运算且满足结合律的非空集合，则 $G$ 构成群的充分必要条件是对任意的 $a, b \in G$，方程

$$ax = b \quad \text{与} \quad ya = b$$

在 $G$ 中都有解。

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证明 必要性. 已证（见定理 1.2.2）。

充分性. 任取 $b \in G$，由条件知，$yb = b$ 有解，设为 $e$，则 $eb = b$。又对任意的 $a \in G$，$bx = a$ 有解，设为 $c$。于是

$$ea = e(bc) = (eb)c = bc = a,$$

从而知 $e$ 是 $G$ 的左单位元。

其次，对每个 $a \in G$，$ya = e$ 有解，设为 $a’$。于是

$$a'a = e,$$

从而知 $a$ 有左逆元。

于是由定理 1.2.3 知，$G$ 构成群。

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最后，作为定理 1.2.4 的一个应用，下面来证明下述结论。

例 11 设 $G$ 是一个具有乘法运算的非空有限集合，如果 $G$ 满足结合律，且两个消去律成立，则 $G$ 构成群。

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证明 设

$$G = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}.$$

对任意的 $a, b \in G$，考察 $aa_i$ 与 $aa_j$。如果 $aa_i = aa_j$，则由左消去律得 $a_i = a_j$，于是 $i = j$。这说明，$aa_1, aa_2, \dots, aa_n$ 是 $G$ 中 $n$ 个互不相同的元素。因为 $|G| = n$，所以\

$$\{aa_1, aa_2, \dots, aa_n\} = G = \{a_1, a_2, \dots, a_n\},$$

由于 $b \in G$，因此必存在 $a_i \in G$，使 $aa_i = b$。这说明方程 $ax = b$ 在 $G$ 中有解。同理可证，方程 $ya = b$ 在 $G$ 中也有解。从而由定理 1.2.4 知 $G$ 构成群。

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要注意的是，如果没有有限的条件，一个具有代数运算的集合，仅仅满足结合律和两个消去律，并不一定构成群。

例如，正整数集在加法运算下满足结合律和消去律（若 $a+b = a+c$ 则 $b=c$），但不存在单位元（0不在集合中），且方程 $a+x = b$ 不一定有解（如 $2+x=1$），故不构成群。同样，正整数集在乘法下虽有单位元1，但缺乏逆元，也不是群。因此，有限条件是关键。